完备有序域的唯一性

谁指向它（入边）

推出 1

• 阿基米德性质、实数系 ℝ ⟹ 本页推出
  $\mathbb{Q}$ 稠密 $\implies$ 完备有序域与 $\mathbb{R}$ 同构

  设 $K$ 是完备有序域，取 $K' := \mathbb{R}$（上面构造出来的那个）。分三步造出唯一的同构 $f : K \to \mathbb{R}$。

  ① $\mathbb{Q}$ 的部分被唯一确定。 任何保 $1$ 的域同态都把 $\mathbb{Z}$ 送到 $\mathbb{Z}'$：$n \mapsto n'$（加法与乘法都由 $1$ 递推地定出来），再取分式得 $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}'$，记作 $q \mapsto q'$。它保序（$q < r \implies r - q > 0 \implies (r-q)' > 0 \implies q' < r'$）。这一步没有选择的余地。

  ② 用上确界把 $f$ 推广出去。 对 $x \in K$ 定义

  $$f(x) := \sup\{\, q' : q \in \mathbb{Q},\ q < x \,\} \in K'$$

  这个上确界存在：集合非空（(i) 阿基米德性给出一个 $q < x$）且有上界（取 $r > x$，则所有 $q < x < r$ 满足 $q' < r'$）。于是 $f$ 是保序的：

  • $x \le y \implies f(x) \le f(y)$：$\{q : q<x\} \subseteq \{q : q<y\}$；
  • $x < y \implies f(x) < f(y)$：由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $q, r$ 使 $x < q < r < y$，则 $f(x) \le q' < r' \le f(y)$。

  保运算：以加法为例，若 $p < x$、$q < y$，则 $p + q < x + y$，故 $f(x) + f(y) \le f(x+y)$；反向用稠密性：任取 $s < x + y$，取有理数 $u < x$ 使 $s - u < y$，则 $s < u + (s - u) < x + y$ 且 $s' \le f(x) + f(y)$，对一切 $s < x+y$ 取上确界得 $f(x+y) \le f(x) + f(y)$。两边相等。乘法同理（先把正元夹在有理数之间，再用符号规则）。

  满射：给定 $y' \in K'$，令 $x := \sup\{q \in \mathbb{Q} : q' < y'\}$（同样由阿基米德性与完备性存在）。任取有理数 $p < x < r$，则 $p' \le y' \le r'$；由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $p \nearrow x$、$r \searrow x$ 代入，得 $f(x) = y'$。

  ③ 唯一性。 设 $g : K \to K'$ 也是这样的同构。由 ① 的「没有选择余地」，$g$ 与 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上一致。任取 $x \in K$，由 $\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密，$x = \sup\{ q \in \mathbb{Q} : q < x \}$；又 $g$ 保序且把上确界送到上确界（保序双射 + 稠密性），故

  $$g(x) = g\big(\sup\{q : q < x\}\big) = \sup\{g(q) : q < x\} = \sup\{q' : q < x\} = f(x)$$

  所以 $f = g$：同构存在且唯一。$\blacksquare$

  ⭐ 三步里每一步都在用前面的准备：① 只用到「$1$ 生成 $\mathbb{Q}$」；② 才真正用完备性（两次取上确界）；③ 用的是$\mathbb{Q}$ 稠密。少任何一条，唯一性就不成立。

定义引用 1

• 有序域 → 本页定义引用

  定理说的「完备有序域」就是这条定义再加上完备性。