阿基米德性质Archimedean

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 完备有序域的唯一性推出
  $\mathbb{Q}$ 稠密 $\implies$ 完备有序域与 $\mathbb{R}$ 同构

  设 $K$ 是完备有序域，取 $K' := \mathbb{R}$（上面构造出来的那个）。分三步造出唯一的同构 $f : K \to \mathbb{R}$。

  ① $\mathbb{Q}$ 的部分被唯一确定。 任何保 $1$ 的域同态都把 $\mathbb{Z}$ 送到 $\mathbb{Z}'$：$n \mapsto n'$（加法与乘法都由 $1$ 递推地定出来），再取分式得 $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}'$，记作 $q \mapsto q'$。它保序（$q < r \implies r - q > 0 \implies (r-q)' > 0 \implies q' < r'$）。这一步没有选择的余地。

  ② 用上确界把 $f$ 推广出去。 对 $x \in K$ 定义

  $$f(x) := \sup\{\, q' : q \in \mathbb{Q},\ q < x \,\} \in K'$$

  这个上确界存在：集合非空（(i) 阿基米德性给出一个 $q < x$）且有上界（取 $r > x$，则所有 $q < x < r$ 满足 $q' < r'$）。于是 $f$ 是保序的：

  • $x \le y \implies f(x) \le f(y)$：$\{q : q<x\} \subseteq \{q : q<y\}$；
  • $x < y \implies f(x) < f(y)$：由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $q, r$ 使 $x < q < r < y$，则 $f(x) \le q' < r' \le f(y)$。

  保运算：以加法为例，若 $p < x$、$q < y$，则 $p + q < x + y$，故 $f(x) + f(y) \le f(x+y)$；反向用稠密性：任取 $s < x + y$，取有理数 $u < x$ 使 $s - u < y$，则 $s < u + (s - u) < x + y$ 且 $s' \le f(x) + f(y)$，对一切 $s < x+y$ 取上确界得 $f(x+y) \le f(x) + f(y)$。两边相等。乘法同理（先把正元夹在有理数之间，再用符号规则）。

  满射：给定 $y' \in K'$，令 $x := \sup\{q \in \mathbb{Q} : q' < y'\}$（同样由阿基米德性与完备性存在）。任取有理数 $p < x < r$，则 $p' \le y' \le r'$；由 $\mathbb{Q}$ 稠密取 $p \nearrow x$、$r \searrow x$ 代入，得 $f(x) = y'$。

  ③ 唯一性。 设 $g : K \to K'$ 也是这样的同构。由 ① 的「没有选择余地」，$g$ 与 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上一致。任取 $x \in K$，由 $\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密，$x = \sup\{ q \in \mathbb{Q} : q < x \}$；又 $g$ 保序且把上确界送到上确界（保序双射 + 稠密性），故

  $$g(x) = g\big(\sup\{q : q < x\}\big) = \sup\{g(q) : q < x\} = \sup\{q' : q < x\} = f(x)$$

  所以 $f = g$：同构存在且唯一。$\blacksquare$

  ⭐ 三步里每一步都在用前面的准备：① 只用到「$1$ 生成 $\mathbb{Q}$」；② 才真正用完备性（两次取上确界）；③ 用的是$\mathbb{Q}$ 稠密。少任何一条，唯一性就不成立。

谁指向它（入边）

推出 1

• ℝ 是完备有序域 ⟹ 本页推出
  完备性 $\implies$ 阿基米德性质 + $\mathbb{Q}$ 稠密

  设 $K$ 是完备有序域（把 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 按 $1$ 生成的子域嵌进去看）。

  (i) 自然数无上界。 反设 $\mathbb{N}$ 在 $K$ 中有上界。由完备性，$s := \sup \mathbb{N}$ 存在。$s - 1 < s$，故 $s - 1$ 不是上界，于是存在 $n \in \mathbb{N}$ 使 $n > s - 1$。但那样 $n + 1 > s$，而 $n + 1 \in \mathbb{N}$ —— 与 $s$ 是上界矛盾。故

  $$\forall x \in K, \exists n \in \mathbb{N}: n > x$$

  （顺带一句：若 $x > 0$，把 $n$ 换成 $n + 1$ 还能保证 $n \ge 1$、$1/n < x$。）

  (ii) $\mathbb{Q}$ 稠密。 设 $x < y$，则 $y - x > 0$。由 (i)（取 $x$ 换成 $1/(y-x)$ 的用法）可取 $n \in \mathbb{N}$，$n \ge 1$，使

  $$n (y - x) > 1, \qquad \text{即}\quad \frac{1}{n} < y - x$$

  再对实数 $nx$ 用一次 (i) 的整数版本：存在 $m \in \mathbb{Z}$ 使

  $$m \le nx < m + 1$$

  （「整数版本」：先用 (i) 取 $k > nx$，再从 $\{0, 1, \ldots, k\}$ 中取最小的使 $\ge nx$ 的那个。）令 $q := (m+1)/n \in \mathbb{Q}$。则

  • $q > x$：由 $nx < m + 1$ 两边除以 $n > 0$；
  • $q < y$：由 $q = \frac{m+1}{n} \le \frac{nx + 1}{n} = x + \frac{1}{n} < x + (y - x) = y$。

  故 $x < q < y$，$\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密。$\blacksquare$

  ⭐ 注意 (i) 的证明只用了「$\mathbb{N}$ 的每个元都有后继」与「上确界存在」这两件事 —— 这就是为什么完备性蕴含阿基米德性。

定义引用 2

• 有序域 → 本页定义引用

  「$\mathbb{N}$ 在 $K$ 中无上界」里的 $K$ 是有序域（$\mathbb{N}$ 按 $1$ 生成的子结构嵌在里面）。

• 有理数 ℚ → 本页定义引用

  「$\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密」里的 $\mathbb{Q}$ 就是有理数集在 $K$ 中的嵌入像。