绝对值 |x|

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 三角不等式推出
  绝对值的定义 $\implies$ 三角不等式

  设 $x, y \in K$。先看两个基本事实（都由 $|t| = \max\{t, -t\}$ 直接读出）：

  • $t \le |t|$ 且 $-t \le |t|$，即 $-|t| \le t \le |t|$。

  于是

  $$x \le |x|, \qquad -x \le |x|, \qquad y \le |y|, \qquad -y \le |y|$$

  两两相加（序与加法相容）：

  $$x + y \le |x| + |y|, \qquad -(x + y) \le |x| + |y|$$

  即 $-c \le x + y \le c$，其中 $c := |x| + |y| \ge 0$。而

  $$-c \le t \le c \iff |t| \le c \qquad (c \ge 0)$$

  （$\Longleftarrow$：由 $t \le c$ 与 $-t \le c$ 分别取 $\max$；$\implies$：$|t|$ 等于 $t$ 或 $-t$，两种情形都在 $c$ 以下。）取 $t = x + y$ 得

  $$|x + y| \le |x| + |y| \qquad \blacksquare$$

  变形。 在 $|x + y| \le |x| + |y|$ 中把 $x$ 换成 $x - y$ 得 $|x| \le |x - y| + |y|$，即 $|x| - |y| \le |x - y|$；交换 $x, y$ 得另一侧，两者合起来就是 $\big| |x| - |y| \big| \le |x - y|$。$n$ 元版本由归纳：$|x_1 + \cdots + x_n| \le |x_1 + \cdots + x_{n-1}| + |x_n|$。

定义引用 1

• Cauchy 列与零列 用到 本页定义引用

  Cauchy 列的定义式 $|x_m - x_n| < \varepsilon$ 里的 $|\cdot|$ 就是它，而 $\varepsilon$ 取正有理数 —— 这样在造出 $\mathbb{R}$ 之前就说得通。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 有序域 → 本页定义引用

  绝对值定义在有序域上（$\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{R}$ 都是）。