自然数集存在natural numbers

它指向谁（出边）

定义引用 3

• 可数与不可数 用到 本页定义引用

  $\mathbb{N}$ 由无穷公理给出（见「自然数集存在」），可数就是拿它当标尺去量别的集合。

• 归纳原理与递推定义 用到 本页定义引用

  归纳原理与递推定义都来自「$\omega$ 是最小归纳集」这一条。

• 整数 ℤ 用到 本页定义引用

  $\mathbb{Z}$ 建在 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上，运算与序都来自 $\mathbb{N}$。

谁指向它（入边）

推出 1

• 无穷公理、幂集公理、分离公理模式 ⟹ 本页推出
  无穷公理 + 幂集公理 + 分离公理模式 $\implies \omega$ 存在
  1. 由无穷公理取一个归纳集 $I$。称 $J \subseteq I$ 是归纳的，若 $\emptyset \in J$ 且 $\forall x (x \in J \to x \cup \{x\} \in J)$。
  2. 由幂集公理，$\mathcal{P}(I)$ 是集合；再用分离公理模式取

  $$S = \{ J \in \mathcal{P}(I) : J\text{ 是归纳集} \}$$

  $S$ 非空（$I \in S$）。

  1. 再对 $\mathcal{P}(I)$ 用一次分离公理模式，令

  $$\omega = \{ x \in I : \forall J ( J \in S \to x \in J ) \}$$

  即 $\omega$ 是所有归纳子集的交。

  1. $\omega$ 是归纳集：$\emptyset$ 属于每个 $J \in S$，故 $\emptyset \in \omega$；若 $x \in \omega$，则 $x$ 属于每个 $J \in S$，从而 $x \cup \{x\}$ 属于每个 $J \in S$，故 $x \cup \{x\} \in \omega$。
  2. $\omega$ 含于一切归纳集：若 $K$ 是归纳集，则 $K \cap I$ 也是归纳集且 $K \cap I \in S$，由 $\omega$ 的定义 $\omega \subseteq K \cap I \subseteq K$。

  故 $\omega$ 是最小归纳集，即自然数集。∎

类比 1

• 笛卡尔积存在类比
  「幂集造容器 + 分离筛内容」——同一个证明模板

  这两个证明的骨架一模一样，只是塞进去的东西不同：

  $\omega$ 的构造：先用幂集公理做出 $\mathcal{P}(I)$；再从里面筛出所有归纳子集，取交。

  $A \times B$ 的构造：先用幂集公理做出 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$；再从里面筛出那些形如 (a,b) 的元素。

  共同的招：集合论里「我想造一个由某种东西组成的集合」时， 永远不能直接写 $\{ x : \varphi (x) \}$（那是罗素悖论）。正确的姿势是两步—— 先找一个确定足够大的容器，再用分离公理模式从里面挑。

  💡 看到「想造一个集合但不知道怎么下手」时，回来想想这两步。