无穷公理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 自然数集存在推出
  无穷公理 + 幂集公理 + 分离公理模式 $\implies \omega$ 存在
  1. 由无穷公理取一个归纳集 $I$。称 $J \subseteq I$ 是归纳的，若 $\emptyset \in J$ 且 $\forall x (x \in J \to x \cup \{x\} \in J)$。
  2. 由幂集公理，$\mathcal{P}(I)$ 是集合；再用分离公理模式取

  $$S = \{ J \in \mathcal{P}(I) : J\text{ 是归纳集} \}$$

  $S$ 非空（$I \in S$）。

  1. 再对 $\mathcal{P}(I)$ 用一次分离公理模式，令

  $$\omega = \{ x \in I : \forall J ( J \in S \to x \in J ) \}$$

  即 $\omega$ 是所有归纳子集的交。

  1. $\omega$ 是归纳集：$\emptyset$ 属于每个 $J \in S$，故 $\emptyset \in \omega$；若 $x \in \omega$，则 $x$ 属于每个 $J \in S$，从而 $x \cup \{x\}$ 属于每个 $J \in S$，故 $x \cup \{x\} \in \omega$。
  2. $\omega$ 含于一切归纳集：若 $K$ 是归纳集，则 $K \cap I$ 也是归纳集且 $K \cap I \in S$，由 $\omega$ 的定义 $\omega \subseteq K \cap I \subseteq K$。

  故 $\omega$ 是最小归纳集，即自然数集。∎