配对公理

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ 无自属集合推出
  正则公理 + 配对公理 $\implies A \notin A$

  反设存在集合 $A$ 使 $A \in A$。由配对公理取 $a = b = A$，得单点集 {A}。

  由外延公理 $\{A\} \ne \emptyset$（它含有 $A$）。对 {A} 用正则公理：存在 $x \in \{A\}$ 使

  $$x \cap \{ A \} = \emptyset$$

  而 {A} 只有唯一的元素，故 $x = A$。于是 $A \cap \{A\} = \emptyset$。

  但由假设 $A \in A$ 且 $A \in \{A\}$，所以 $A \in A \cap \{A\}$，与 $A \cap \{A\} = \emptyset$ 矛盾。故 $A \notin A$。∎

  把同样的论证用在任意有限 $\in$循环 $A_{0} \ni A_{1} \ni \cdots \ni A_{n} = A_{0}$ 上，取集合 $\{A_{0}$ …$A_{n-1}\}$（可由配对公理反复构造），也能得到矛盾。

• 本页 ⟹ 二元并存在推出
  配对公理 + 并集公理 $\implies$ 二元并存在

  任给 $a$、$b$。

  1. 由配对公理，{ a, b } 是集合。
  2. 由并集公理，$\bigcup \{ a, b \}$ 是集合，且

  $$x \in \bigcup\{ a, b \} \iff \exists Y ( Y \in \{ a, b \} \wedge x \in Y ) \iff ( x \in a \vee x \in b )$$

  取 $A = \bigcup \{ a, b \}$ 即为所求。∎

• 本页 ⟹ 笛卡尔积存在推出
  幂集 + 配对 + 并集 + 分离公理模式 $\implies A \times B$ 存在

  任给 $A$、$B$。

  1. 由配对公理与并集公理，$A \cup B$ 是集合。
  2. 对任意 $a \in A$、$b \in B$，Kuratowski 有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$。其中 $\{a\} \subseteq A \cup B$，$\{a, b\} \subseteq A \cup B$，所以 $\{a\}, \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B)$，进而 $(a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$。
  3. 由幂集公理，$\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 是集合。用分离公理模式取

  $$C = \{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) : \exists a \in A, \exists b \in B, z = (a, b) \}$$

  则 $C$ 恰是 $A \times B$：一方面每个 (a, b) 都在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 中，另一方面 $z$ 是不在 $A$、$B$ 中任意点处取到的有序对时不会被选进来。∎

  这个证明展示了一个典型套路：先用幂集「造一个足够大的容器」，再用分离公理模式「筛出真正想要的东西」。

定义引用 1

• 有序对 用到 本页定义引用

  有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$ 的构造要用到配对公理，它才成为集合。