有序对

有序对（Ordered Pair, Kuratowski）

定义
依赖深度 layer 3
集合论
集合的构造

def.pair · 定义 · Kuratowski

又称有序对·ordered pair·Kuratowski·库拉托夫斯基

陈述

Kuratowski 定义：

(a, b) := \{ \{a\}, \{a, b\} \}

它由配对公理与幂集公理保证是集合。

特征性质（这才是「有序」的全部含义）：

(a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d

$n$ 元组递归定义为 $(a_{1}$ … $a_{n}) = ( (a_{1}$ … $a_{n-1}), a_{n} )$ 。

说明

用集合「编码」有序对之后，关系、函数、序型等等才都能在 ZFC 内部说清楚。

它指向谁（出边）

定义引用 5

截口用到本页定义引用

集合构造式 $E_x = \{ y : (x, y) \in E \}$ 里写的就是有序对 $(x, y)$ 。
单射 / 满射 / 双射用到本页定义引用

判断单射时用的是「 $f(a) = f(b) \implies a = b$ 」，即在有序对层面比较。
关系用到本页定义引用

关系被定义为「有序对的集合」，函数是特殊的关系，因此整个定义都建立在有序对之上。
笛卡尔积存在用到本页定义引用

$A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}$ 中的元素就是有序对。
图用到本页定义引用

四元组 $(V, E, s, t)$ 是嵌套的有序对 —— 有序对是它的载体，先有有序对才写得下四元组。

谁指向它（入边）

定义引用 2

配对公理 → 本页定义引用

有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$ 的构造要用到配对公理，它才成为集合。
幂集公理 → 本页定义引用

同一个构造也要用到幂集公理： $\{a, b\}$ 的幂集里才装得下 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ 。

参考

Kunen, Set Theory, I.5

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