二元并存在

二元并 $a \cup b$ 存在

定理
依赖深度 layer 1
集合论
集合的构造

thm.binunion · 定理

又称两个集合的并

陈述

任给两个集合，它们的并仍是集合：

\forall a \forall b \exists A \forall x [ x \in A \leftrightarrow ( x \in a \vee x \in b ) ]

记作 $a \cup b$ 。

说明

$a \cup b$ 是包含 $a$ 与 $b$ 的最小集合（ $\subseteq$ 意义下）。

谁指向它（入边）

推出 1

配对公理、并集公理 ⟹ 本页推出

配对公理 + 并集公理 $\implies$ 二元并存在
任给 $a$ 、 $b$ 。
1. 由配对公理，{ a, b } 是集合。
2. 由并集公理， $\bigcup \{ a, b \}$ 是集合，且
$x \in \bigcup\{ a, b \} \iff \exists Y ( Y \in \{ a, b \} \wedge x \in Y ) \iff ( x \in a \vee x \in b )$
取 $A = \bigcup \{ a, b \}$ 即为所求。∎

参考

Kunen, Set Theory, I.3

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