差集与补集

差集 / 补集 / 对称差（Difference, Complement & Symmetric Difference）

定义
依赖深度 layer 2
集合论
集合的构造

def.diff-complement · 定义 · 集合运算

又称差集·补集·difference·complement

陈述

设 $A$ 、 $B$ 、 $X$ 是集合且 $A, B \subseteq X$ ：

差集： $A \setminus B := \{ x \in A : x \notin B \}$ ；
补集（相对于 $X$ ）： $A^{c} := X \setminus A$ ；
对称差： $A \triangle B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ 。

基本恒等式：

A \setminus B = A \cap B^{c}, \qquad (A^{c})^{c} = A, \qquad (\bigcup_i A_i)^{c} = \bigcap_i A_i^{c}

最后一条就是 De Morgan 律。

说明

⭐ De Morgan 律是「用差 + 可数并推出可数交」的全部依据： $\bigcap_n A_n = A_1 \setminus \bigcup_{n \ge 2} (A_1 \setminus A_n)$ —— $\sigma$ -环只要求对差与可数并封闭，可数交就自动有了。

⚠ 补集必须相对于某个全集 $X$ 才有意义，这也正是 $\sigma$ -代数要含 $X$ 的原因：不含 $X$ 就只剩 $\sigma$ -环，补运算落不到里面。

它指向谁（出边）

定义引用 1

闭集与闭包用到本页定义引用

「补集」这条定义是闭集定义的直接依据。

谁指向它（入边）

定义引用 1

子集 → 本页定义引用

$A \setminus B \subseteq A$ ；「含全集 $X$ 」也是子集关系。

参考

Kunen, Set Theory, I.5

同一星团的其他概念 9 个

继续

在星图里打开「差集与补集」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表