闭集与闭包

闭集 / 闭包 / 稠密（Closed Set, Closure）

定义
依赖深度 layer 5
拓扑学
拓扑空间

def.closed-set · 定义 · 拓扑 · 闭集

又称闭集·闭包·closed set·closure·聚点

陈述

设 $(X, \mathcal{T})$ 是拓扑空间。

$F \subseteq X$ 是闭集： $X \setminus F$ 是开集；
$A \subseteq X$ 的闭包 $\operatorname{cl} A$ ：一切包含 $A$ 的闭集之交（最小的那个闭集）；
$A$ 稠密： $\operatorname{cl} A = X$ ；
$x$ 的邻域：任何含 $x$ 的开集（的包含者）。

由 De Morgan 律，开集的三条公理翻译成闭集就是： $\emptyset, X$ 闭；任意交闭；有限并闭。

说明

⭐ 开与闭不是互斥的： $\emptyset$ 与 $X$ 既开又闭；在 $\mathbb{R}$ 里 $[0, 1]$ 是闭的， $[0, 1)$ 既不开也不闭。

闭包是「把极限点都收进来」：在距离空间里 $\operatorname{cl} A$ 恰好是「 $A$ 中某个序列的极限」全体。

它指向谁（出边）

定义引用 4

紧子集是闭的用到本页定义引用

「紧子集是闭的」里的「闭」就是这条定义的闭集。
闭开集用到本页定义引用

闭开集 = 开集且闭集，两个概念各占一半。
闭映射的邻域基用到本页定义引用

证明里用了「闭映射把闭集送到闭集」与开集的定义。
正规空间用到本页定义引用

正规性说的是不交闭集能被开集分开。

谁指向它（入边）

定义引用 2

拓扑空间与开集 → 本页定义引用

闭集定义成开集的补，开集的性质靠 De Morgan 律翻译过去。
差集与补集 → 本页定义引用

「补集」这条定义是闭集定义的直接依据。

参考

Munkres, Topology, Ch. 2

常见问法 1 条

连续映射怎么定义也看连续映射、拓扑空间与开集

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