闭映射的邻域基

命题：闭映射下 $\pi^{-1}(A)$ 的邻域基

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又称闭映射的邻域基·Exercise 8.6

陈述

设 $\pi : Y \to X$ 是闭连续映射， $A \subseteq X$ 。则「 $A$ 的邻域的原像」

\bigl\{\, \pi^{-1}(U) \;:\; U \text{ 是 } A \text{ 在 } X \text{ 中的邻域} \,\bigr\}

构成 $\pi^{-1}(A)$ 在 $Y$ 中的一个邻域基。

证明。 设 $V \subseteq Y$ 是 $\pi^{-1}(A)$ 的开邻域。取

U := X \setminus \pi(Y \setminus V).

$\pi$ 闭说明 $\pi(Y\setminus V)$ 闭，故 $U$ 是开集 ✓。逐条验：

$A \subseteq U$ ：若 $a \in A$ ，则 $\pi^{-1}(a) \subseteq \pi^{-1}(A) \subseteq V$ ，故 $\pi^{-1}(a) \cap (Y\setminus V) = \emptyset$ ，即 $a \notin \pi(Y\setminus V)$ ，于是 $a \in U$ ✓；
$\pi^{-1}(U) \subseteq V$ ：若 $y \in \pi^{-1}(U)$ ，则 $\pi(y) \notin \pi(Y\setminus V)$ ，特别地 $y \notin Y \setminus V$ ，即 $y \in V$ ✓。

于是每个 $\pi^{-1}(A)$ 的开邻域 $V$ 都含着一个形如 $\pi^{-1}(U)$ 的邻域，即这一族构成邻域基 ✓。∎

⭐ 一句话：闭映射把「 $A$ 的邻域」原样搬成「 $\pi^{-1}(A)$ 的邻域」。这条在构造延拓时用来把「局部定义域」从 $X$ 抬到 $Y$ 而不丢失信息（延拓定理证明里的标准一步）。