Hausdorff 空间

Hausdorff 空间 / $T_{2}$ （Hausdorff Space）

定义
依赖深度 layer 5
拓扑学
拓扑空间

def.hausdorff · 定义 · 拓扑 · 分离公理

又称Hausdorff·豪斯多夫·T2·分离公理·Tychonoff·正则空间·正规空间·Definition 2.1.1·Def 2.1.1

陈述

拓扑空间 $X$ 叫 Hausdorff 空间（或 $T_{2}$ 空间），如果任意两个不同点都可以被开集分开：

\forall x \ne y \in X,\ \exists U \ni x,\ V \ni y \ \text{开},\quad U \cap V = \emptyset

说明

一句话：极限唯一。序列只要收敛就只能收敛到一个点 —— 这正是分析里默认的那种空间。

更强的分离性是正规（ $T_{4}$ ）：任意两个不交闭集可被开集分开。紧 Hausdorff 空间是正规的（证明用两次紧性造开覆盖再取有限子覆盖）。

$T_{3}$ （正则）与 $T_{3.5}$ （Tychonoff）夹在中间： $T_{3.5}$ 说的是不同的点可以被连续函数分离开，也就是「连续函数足够多」这一条。Stone–Čech 紧化的单射性要求的正是它。

它指向谁（出边）

定义引用 8

Hausdorff 空间是反射子范畴用到本页定义引用

反射的目标范畴就是 Hausdorff 空间。
紧 Haus 是反射子范畴用到本页定义引用

$e_{K}$ 是单射那一步用的是紧 Hausdorff 空间是 $T_{3.5}$ 的。
紧生成空间对积封闭用到本页定义引用

推论里的因子 $Y$ 要求局部紧 Hausdorff。
紧 Hausdorff 空间范畴用到本页定义引用

「Hausdorff」那一半来自分离公理。
弱 Hausdorff 空间用到本页定义引用

弱 Hausdorff 是把 Hausdorff 的条件放宽到「紧块的像闭」。
CGWH 是 CG 的反射子范畴用到本页定义引用

反射去掉的是「弱 Hausdorff」，用的是闭等价关系。
正规空间用到本页定义引用

正规要求在 $T_{1}$ 之上再加强（闭集之间可以分开）。
局部紧 Hausdorff 空间用到本页定义引用

局部紧Hausdorff 的头一个要求就是 Hausdorff。

谁指向它（入边）

定义引用 1

拓扑空间与开集 → 本页定义引用

「两个点可被开集分开」——开集是拓扑的一部分。

参考

Munkres, Topology

常见问法 1 条

Urysohn 引理是什么也看 Urysohn 引理、正规空间

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