紧 Hausdorff 空间范畴compact Hausdorff

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ 紧 Haus 是反射子范畴推出
  构造 $\beta X$ 并验证泛性质

  构造。 把 $X$ 送进 Tychonoff 方块：

  $$e_{X} : X \to [0,1]^{C(X,[0,1])}, \qquad x \mapsto (f(x))_{f \in C(X,[0,1])}$$

  每个分量 $x \mapsto f(x)$ 连续，所以 $e_{X}$ 连续（到积空间的映射连续 $\iff$ 每个分量连续）。由 Tychonoff 定理方块紧，取闭包

  $$\beta X := \overline{e_{X}(X)} \subseteq [0,1]^{C(X,[0,1])}$$

  闭子集紧、方块 Hausdorff 而子空间 Hausdorff，所以 $\beta X \in \mathbf{CHaus}$。

  函子性。 连续映射 $\varphi : X \to Y$ 诱导 $C(Y,[0,1]) \to C(X,[0,1])$（$g \mapsto g \circ \varphi$），进而诱导方块的映射 $[0,1]^{C(X,[0,1])} \to [0,1]^{C(Y,[0,1])}$；它把 $e_{X}(X)$ 送到 $e_{Y}(Y)$，于是把闭包送到闭包，得到 $\beta\varphi : \beta X \to \beta Y$。

  泛性质。 设 $K \in \mathbf{CHaus}$，$f : X \to K$ 连续。紧 Hausdorff 空间是 $T_{3.5}$ 的（不同的点可被连续函数分离），所以 $e_{K} : K \to [0,1]^{C(K,[0,1])}$ 是单射；把 $K$ 看成那个方块里的子空间，目标就变成「造一个 $\widehat{f}$ 使右下三角交换」：

  $$\begin{array}{ccc} X & \xrightarrow{\ e_{X}\ } & \beta X \subseteq [0,1]^{C(X,[0,1])} \\ & \searrow\scriptstyle{f} & \downarrow\scriptstyle{\widehat{f}} \\ & & K \subseteq [0,1]^{C(K,[0,1])} \end{array}$$

  用分量定义 $\widehat{f}$：对每个 $g \in C(K,[0,1])$，令第 $g$ 个分量为

  $$(\pi_{g} \circ \widehat{f}) := \pi_{g \circ f} : [0,1]^{C(X,[0,1])} \longrightarrow [0,1]$$

  即「把第 $g$ 个坐标读成 $g \circ f$ 那个坐标」。每个分量连续，所以 $\widehat{f}$ 连续；在 $e_{X}(x)$ 上验证：

  $$\bigl(\pi_{g} \circ \widehat{f}\bigr)\bigl(e_{X}(x)\bigr) = (g \circ f)(x) = \pi_{g}\bigl(j_{K}(f(x))\bigr)$$

  所以 $\widehat{f} \circ e_{X} = j_{K} \circ f$，即 $f = \widehat{f} \circ e_{X}$（把 $K$ 与它在方块里的像等同）。

  落回 $K$ 里。 还差 $\widehat{f}(\beta X) \subseteq j_{K}(K)$。只需在稠密的 $e_{X}(X)$ 上验：由上式 $\widehat{f}(e_{X}(x)) = j_{K}(f(x)) \in j_{K}(K)$。而 $j_{K}(K)$ 在方块里是紧的因而闭，取闭包即得 $\widehat{f}(\beta X) \subseteq j_{K}(K)$。

  唯一性。 两个这样的 $\widehat{f}$ 在稠密的 $e_{X}(X)$ 上相等，而目标是 Hausdorff，所以处处相等。∎

  关键只有两处：Tychonoff 定理给出紧性，$T_{3.5}$ 性保证 $e_{K}$ 是单射（否则「落回 $K$ 里」那一步没意义）。

• 本页 ⟹ 连通分量是闭开邻域之交推出
  紧 Hausdorff 中连通分量是闭开邻域之交

  记 $C := \bigcap \{K : K \text{ 闭开},\ x \in K\}$。

  $C(x) \subseteq C$。 每个含 $x$ 的闭开集 $K$ 都是既不空又不全的开集，所以 $x$ 的连通分量只能整个落在 $K$ 里或整个落在 $K$ 外；既然 $x \in K$，就有 $C(x) \subseteq K$。对一切这样的 $K$ 取交即得。

  $C$ 连通。 反设 $C = F \sqcup G$，其中 $F, G$ 在 $C$ 中闭、不交、非空，并设 $x \in F$。$C$ 是闭集之交因而闭，于是 $F, G$ 在 $S$ 中闭。紧 Hausdorff 空间正规，取不交开集 $U \supseteq F$、$V \supseteq G$。令 $K := (U \cup V)^{c}$，它闭且 $K \cap C = \emptyset$。

  由 $C$ 的定义与 $K \cap C = \emptyset$，存在含 $x$ 的闭开集 $H$ 使 $H \cap K = \emptyset$，即 $H \subseteq U \cup V$。于是 $H \cap U$ 与 $H \cap V$ 都是 $H$ 中的闭开集（$U, V$ 不交故各自的补在 $H$ 中开），进而在 $S$ 中闭开（$H$ 闭开）。其中 $H \cap U \ni x$，所以由 $C$ 的定义 $C \subseteq H \cap U \subseteq U$，从而 $C \cap V = \emptyset$，与 $G \subseteq C \cap V$ 非空矛盾。∎

  这一步是后面 Stone 对偶与 $\mathrm{Cond}$ 里「连通分量可控」的来源：在 $\mathbf{CHaus}$ 里，连通分量由闭开集这个可以自由摆弄的族描述出来。

• 本页 ⟹ Gleason 定理推出
  投射对象 $\iff$ Stonean 空间

  （投射 $\Longrightarrow$ Stonean） 设 $S$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 的投射对象，要证 $S$ 极端不连通，即任一开集 $U$ 的闭包闭开。

  令 $F := U^{c}$，考虑 $p : U \sqcup F \to S$（$U \sqcup F$ 取不交并拓扑，$p$ 在 $U$ 与 $F$ 上取含入）—— 它是连续满射。由投射性，$p$ 有连续截面 $s : S \to U \sqcup F$，即 $p \circ s = 1_{S}$。

  于是 $s(U) \subseteq U$ 且 $p(s(U)) = U$；又 $p(F) \cap U = \emptyset$ 迫使 $s(U) \subseteq U$。开集在连续映射下的原像开：$U = s^{-1}(U)$ 是开的；再由 $s^{-1}(F) = U^{c}$ 也开可得 $U$ 闭。所以 $U$ 闭开，$S$ 极端不连通。∎

  （Stonean $\Longrightarrow$ 投射） 因为 $\mathbf{CHaus}$ 有纤维积、满态射在这里是「universal」的，投射性等价于「每个满态射都有截面」。所以只要证：$S$ Stonean 时每个满态射 $f : T \to S$ 都有截面。

  由「满射有极小闭子集」那条引理，可以设 $f$ 在极小意义下满：即没有真闭子集 $T' \subset T$ 使 $f|_{T'}$ 满。我们来证这样的 $f$ 是单射。

  反设 $x \ne x' \in T$ 且 $f(x) = f(x')$。取不交邻域 $U \ni x$、$U' \ni x'$。$f$ 是闭映射（紧到 Hausdorff 的连续映射把闭集送到闭集），所以 $S_{1} := f(U^{c})$ 与 $S_{1}' := f(U'^{c})$ 是 $S$ 中的闭集。由 $f$ 的极小满性，$f|_{U^{c}}$ 与 $f|_{U'^{c}}$ 都不满，故 $S_{1}, S_{1}' \subset S$；于是它们各自的补 $V := S \setminus S_{1}$、$V' := S \setminus S_{1}'$ 是非空开集，且 $V \subseteq f(U)$、$V' \subseteq f(U')$。

  $f(x) = f(x') \in V \cap V'$，所以 $V \cap V' \ne \emptyset$。又 $U, U'$ 不交，故 $f(U) \cap f(U')$ 中的点只有可能来自交叠，于是 $V \cap V' \subseteq \overline{f(U)} \cap \overline{f(U')}$。而 $V \cap V'$ 非空是开集、$S$ 极端不连通意味着不交开集的闭包不交（前一条性质），矛盾。

  所以 $f$ 是单射，从而是同胚，于是它有截面。∎

  两个方向用的是同一条投射性的两种面貌：一面是「把对象从它的两块拼回来」（$U \sqcup F \to S$ 有截面），另一面是「每个满射有截面」。

定义引用 20

• 不交并是紧 Hausdorff 的余积 用到 本页定义引用

  命题活在紧 Hausdorff 范畴里。

• 紧 Hausdorff 上商映射的四种说法 用到 本页定义引用

  四条等价都是在紧 Hausdorff 范畴里说的。

• 紧 Haus 是自由的商 用到 本页定义引用

  命题说的对象是 $\mathbf{CHaus}$ 中的空间。

• 连通分量是闭开邻域之交 用到 本页定义引用

  证明里用到紧 Hausdorff 空间是正规的。

• 自由紧 Hausdorff 空间 用到 本页定义引用

  自由紧 Hausdorff 空间是 $\mathbf{CHaus}$ 里的对象：$F \cong \beta I$。

• 自由表示 用到 本页定义引用

  自由表示是 $\mathbf{CHaus}$ 里的一个满射三元组。

• 全不连通与 Stone 空间 用到 本页定义引用

  Stone 空间与 Stonean 空间分别是「全不连通」与「极端不连通」再加紧 Hausdorff。

• CHaus 是预拓扑斯 用到 本页定义引用

  被检验的范畴是 $\mathbf{CHaus}$。

• 凝聚态集 用到 本页定义引用

  凝聚态集是紧 Hausdorff 空间上的层。

• 底拓扑空间 用到 本页定义引用

  底空间的拓扑由「从紧 Hausdorff 空间进来的映射」定出来。

• 紧生成空间 用到 本页定义引用

  指标取的是紧 Hausdorff 空间与它们之间的连续映射。

• 紧生成空间 用到 本页定义引用

  测试空间取的是紧 Hausdorff 空间。

• 紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调 用到 本页定义引用

  命题只对紧 Hausdorff 空间成立。

• 实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调 用到 本页定义引用

  空间是紧 Hausdorff 的。

• 紧 Haus 到实 Banach 全零 用到 本页定义引用

  源是紧 Hausdorff 阿贝尔群。

• 紧 S 对实 Banach 的 RHom 用到 本页定义引用

  测试空间 $S$ 紧 Hausdorff。

• 局部紧阿贝尔群结构定理 用到 本页定义引用

  分解出的紧块 $K$ 是紧 Hausdorff 阿贝尔群。

• 离散 与 紧 Hausdorff 用到 本页定义引用

  对偶把「离散」与「紧 Hausdorff」互换。

• 滤过极限的上同调 用到 本页定义引用

  空间是一族紧 Hausdorff 空间的滤过极限。

• 紧块沿闭含入拼出的空间 用到 本页定义引用

  拼出来的是紧 Hausdorff 块。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 紧 → 本页定义引用

  紧 Hausdorff 空间就是紧空间再加上 Hausdorff 性。

• Hausdorff 空间 → 本页定义引用

  「Hausdorff」那一半来自分离公理。

• 范畴 → 本页定义引用

  把它们收成一个范畴：对象是空间，态射是连续映射。