紧 Hausdorff 上商映射的四种说法

说明

证明（循环）。 (1)$\implies$(2)：商映射是某个余等化子，因而正则满 ✓。(2)$\implies$(3)：正则满自动是满态射 ✓。(3)$\implies$(4)：紧 Hausdorff 之间，满态射就是满射（紧 Hausdorff 是「投射对象够多」的范畴，满态射有截面，特别地满）✓。(4)$\implies$(1)：紧 Hausdorff 的连续满射是商映射（紧空间到 Hausdorff 空间的连续满射诱导同胚于商）✓。∎

⭐ 用处：在紧 Hausdorff 里验「商映射」不必再拿开集去对，满射就够了 —— 这是后面把「覆盖」读成「满态射」的依据。

📌 「紧 $\to$ Hausdorff 的连续满射是商映射」这一步用的是：紧空间里闭子集紧、连续像紧，于是 $T$ 里的闭集若拉回来闭就闭。