自由表示

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ Cond 是拓扑斯推出
  $\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯 $\implies$ $\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯

  用 Giraud 定理的第四条：造出「预层范畴 + 正合反射」就够了。

  取预层范畴 $\widehat{\mathbf{CHaus}}$，则 $\mathrm{Cond} = \widehat{\mathbf{CHaus}}$ 是它的反射子范畴（反射是层化），并且层化正合（保有限极限，前面的层与拓扑那一段已经证过）。所以 $\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯。∎

  也可以直接验拓扑斯的四条公理，用的都是 $\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯这一条：

  小生成元集。 层范畴由可表示预层生成，所以取全体自由紧 Hausdorff 空间 $\beta I$（在 $\mathrm{Cond}$ 里）作生成元集即可 —— 每个紧 Hausdorff 空间都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$，于是每个可表示预层都被这些自由对象盖住。

  有限极限、余积、等价关系。 层范畴里的这些构造都是逐点算的（在 $\mathbf{CHaus}$ 上取极限/余积/商），所以它们的不交性、万有性、有效性都由 $\mathbf{CHaus}$ 的对应性质继承过来 —— 层化保有限极限与余极限，正好把结论从预层范畴运到层范畴。∎

  这就是整段路的终点：从「紧 Hausdorff 空间」这一件拓扑材料出发，造出了一个拓扑斯。

• 本页 ⟹ Cond 即 FCHaus 上的层推出
  $\mathrm{Cond} \simeq \widehat{\mathbf{FCHaus}}$

  （限制） 设 $X$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 上的层，把它限制到 $\mathbf{FCHaus}$ 上。$\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖更少（只有有限不交并），层的条件只会更容易满足，所以限制仍是层。∎

  （延拓） 设 $X$ 是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层。对 $S \in \mathbf{CHaus}$ 定义

  $$X(S) := \varinjlim_{F \to S} X(F)$$

  指标跑在「自由紧 Hausdorff 空间到 $S$ 的映射」上（按加细取滤过余极限）。

  这就是层的粘合。 由 $\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$，取 $R := \beta S^{\mathrm{disc}} \times_{S} \beta S^{\mathrm{disc}}$ 与满射 $\beta R \to R$，则

  $$X(S) \;=\; \varprojlim_{F \to S} X(F) \;\cong\; \ker\bigl(X(\beta S^{\mathrm{disc}}) \rightrightarrows X(\beta R)\bigr) \;=\; \{\, x : X(p_{1})(x) = X(p_{2})(x) \,\}$$

  正是「相容的一族截面」。

  反过来赋值。 给定右边的一个 $x$ 与一个映射 $f : F'' \to S$（$F''$ 自由），由自由性 $f$ 可以提升为 $\widetilde{f} : F'' \to F$（$F \twoheadrightarrow S$ 是那个自由表示），定义

  $$x_{f} := X(\widetilde{f})(x) \in X(F'')$$

  提升的选取无关紧要。 若 $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ 是两个提升，则 $(\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}) : F'' \to F \times_{S} F$ 分解为 $p \circ f'$（因为 $F' \twoheadrightarrow F \times_{S} F$ 满而 $F''$ 自由），于是

  $$X(\widetilde{f}_{1})(x) = X(f')\bigl(X(p_{1})(x)\bigr) = X(f')\bigl(X(p_{2})(x)\bigr) = X(\widetilde{f}_{2})(x)$$

  所以 $(x_{f})_{f}$ 良定义，即有一族相容截面，$\varphi(x) \in X(S)$。两个方向互逆，于是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层与 $\mathbf{CHaus}$ 上的层是同一个范畴。∎

  又由「$\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $\iff$ 保有限积」，$\mathrm{Cond}$ 也可以等价地定义为「$\mathbf{FCHaus}$ 上保有限积的预层」。∎

  换到 $\mathbf{FCHaus}$ 上的好处是：那里的满射都有截面，于是「层」退化成最朴素的一条 —— 保有限积。这是凝聚态数学里最常用的工作定义。

• 本页 ⟹ 凝聚态集满态射的判据推出
  满态射在自由空间上逐点检验

  （$\Longleftarrow$） 显然：若每个 $X(F) \to Y(F)$ 都满，则层之间的这个态射在每个自由对象上满，由「生成元集判定满态射」的一般道理即得它在 $\mathrm{Cond}$ 里是满态射。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $p : X \to Y$ 是满态射，先证它「局部满」。取像

  $$\operatorname{Im}(p)(S) := \{\, y \in Y(S) \ :\ \exists \text{ 覆盖 } (S_{i} \to S),\ \exists x \in X(S_{i}),\ p(x) = y|_{S_{i}} \,\}$$

  它是 $Y$ 的一个子层。由定义，$p$ 的每个值都落在 $\operatorname{Im}(p)$ 里，即 $\operatorname{Im}(p) \hookrightarrow Y$ 是满态射；而它同时是单态射，故（层里单满即同构）$\operatorname{Im}(p) = Y$。也就是说：$p$ 局部满。

  现在取 $F \in \mathbf{FCHaus}$ 与 $y \in Y(F)$。由局部满，存在 $F$ 的覆盖，在其每一块 $F_{i}$ 上有 $x_{i} \in X(F_{i})$ 使 $p(x_{i}) = y|_{F_{i}}$。$\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖由有限不交并给出，而 $F$ 是自由的、余积在它上面就是无交并，所以可以直接把有限块上的 $x_{i}$ 拼起来（这正是「保有限积」那一条）：

  $$x := (x_{i})_{i} \in \prod_{i} X(F_{i}) \;\cong\; X\Bigl(\coprod_{i} F_{i}\Bigr) \;=\; X(F)$$

  并且 $p(x) = y$。所以 $X(F) \to Y(F)$ 是满射。∎

  「满 = 局部满 = 局部可提升」是层论里的通用逻辑；而 $\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖是有限不交并，所以局部终于能拼成整体 —— 这就是为什么探针只需要自由对象。

定义引用 1

• 紧 Haus 都有自由表示 用到 本页定义引用

  推论说每个对象都有自由表示。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

  $R := F \times_{S} F$ 是一个纤维积。

• 紧 Hausdorff 空间范畴 → 本页定义引用

  自由表示是 $\mathbf{CHaus}$ 里的一个满射三元组。