自由紧 Haus 是投射对象

说明

设 $F \cong \beta I$，给定满态射 $T \twoheadrightarrow S$ 与 $F \to S$。由自由性，$F \to S$ 等同于 $I$ 上的一族点，于是 $I \to T$ 就是一个集合层的提升（$I$ 离散、$\mathbf{Set}$ 中对象都投射，即选择公理）；再用 $\beta I$ 的泛性质把它变回 $F \to T$，而它自动与原有映射相容。∎