不交并是紧 Hausdorff 的余积

命题：S⊔TS \sqcup T 是 CHaus\mathbf{CHaus} 里的余积

prop.coproduct-chaus · 命题 · 紧 Hausdorff · 不相交并 · 余积

又称Exercise 2.12

陈述

在紧 Hausdorff 空间范畴里（自由紧 Hausdorff 空间之间也一样），不交并是余积：

Hom⁡(S⊔T, Z)  ≅  Hom⁡(S,Z)×Hom⁡(T,Z).\operatorname{Hom}(S \sqcup T,\ Z) \;\cong\; \operatorname{Hom}(S, Z) \times \operatorname{Hom}(T, Z).

说明

证明。 一个连续映射 S⊔T→ZS \sqcup T \to Z 由它在两半上的限制决定 ✓；反之给两条连续映射，把它们拼起来仍连续（不交并的拓扑就是两块拓扑的和）✓。于是上面的自然双射成立，即余积的泛性质 ✓。紧 Hausdorff 对有限不交并封闭（两块紧、两块 Hausdorff）✓。∎

⚠️ 无限个不交并一般不紧，所以余积只对有限族留在范畴里；这也是后面用预拓扑（有限不交并）而不是一般不交并的原因。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

同一星团的其他概念 11 个

继续

在星图里打开「不交并是紧 Hausdorff 的余积」　·　 全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 读图指南与记号表