积 / 余积

积与余积（Product / Coproduct）

定义
依赖深度 layer 12
范畴论
图与极限

def.product · 范畴论 · 极限 · 离散范畴

又称积·余积·product·coproduct·直积·直和·Definition 1.3.6·Def 1.3.6

陈述

取 $I$ 为离散范畴（只有对象，没有非恒等的态射），图 $D : I \to \mathcal{C}$ 就只是一族对象 $(X_i)_{i \in I}$ 。它的极限叫积 $\prod_{i} X_i$ ，余极限叫余积 $\coprod_{i} X_i$ 。泛性质写成同构集就是

\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\Bigl(Y, \prod_{i} X_i\Bigr) \;\cong\; \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X_i)

说明

一句话：积就是「一个映射 = 一族映射」。射入积的映射与「分别射入每个分量的映射组成的族」一一对应，投影 $p_i$ 就是取出第 $i$ 个分量。

例： $\mathbf{Set}$ 里积是笛卡尔积，余积是无交并； $\mathbf{Top}$ 里积取乘积拓扑（使它成为积的最粗的拓扑），余积取不交并拓扑（最细的那个）； $\mathbf{Ab}$ 里积是直积 $\prod_i A_i$ ，余积是直和 $\bigoplus_i A_i$ 。

它指向谁（出边）

定义引用 8

直和就是积用到本页定义引用

命题的另一半说的是「积」，用的是积的泛性。
Set、Top、Ab 的完备性用到本页定义引用

完备性由积与等化子给出。
不交并是紧 Hausdorff 的余积用到本页定义引用

结论是「这是余积」。
Grothendieck 的 AB 公理用到本页定义引用

AB4 说余积正合，AB6 说滤过余极限与积交换。
内 Hom 用到本页定义引用

内 Hom 用的是 $\mathcal{T}$ 里的积 $X \times Y$ 。
幺半群对象用到本页定义引用

乘法 $\mu : G \times G \to G$ 用的是积。
群对象与阿贝尔群对象用到本页定义引用

交换因子 $\tau$ 是积上的换位态射。
极限的构造用到本页定义引用

第一步用的是积 $\prod_{i} D(i)$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

极限 → 本页定义引用

积是离散范畴上的极限：索引范畴里没有非恒等态射，相容性条件就自动消失了。
笛卡尔积存在 → 本页定义引用

在 $\mathbf{Set}$ 里范畴论意义下的积就是笛卡尔积 —— 同一件东西的两个名字。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

常见问法 1 条

积和余积是什么也看极限、笛卡尔积存在

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