单纯形范畴Delta

单纯形范畴 $\Delta$

定义
依赖深度 layer 8
范畴论
图与极限

def.simplex-category · 范畴论 · 单纯形 · 单纯对象 · 面映射 · 退化映射

又称单纯形范畴·simplex category·Delta·面映射·退化映射·Definition 1.1.2·Def 1.1.2

陈述

单纯形范畴 $\Delta$ 的对象是正整数

[n] := n + 1 := \{\, 0, 1, \ldots, n \,\} \qquad (n \in \mathbb{N}),

态射是保序映射 $[m] \to [n]$ 。它由两类基本的态射生成：

面映射 $\delta^{i} : [n-1] \to [n]$ ：跳过 $i$ （ $i = 0, \ldots, n$ ），不取 $i$ 的保序单射；
退化映射 $\sigma^{i} : [n+1] \to [n]$ ：把 $i$ 与 $i+1$ 撞在一起（ $i = 0, \ldots, n$ ），保序满射。

说明

为什么要它：单纯对象就是 $\Delta^{\mathrm{op}}$ 上的图（见「单纯对象」）。这一条把「一个空间在 $n$ 维的骨架」组织成范畴语言 —— $[n]$ 是 $n$ -单形，面映射是「取第 $i$ 个面」，退化映射是「把单形压扁」。

$\Delta$ 的态射全都能写成面映射与退化映射的复合，而且它们满足单纯恒等式（ $\delta^{j}\delta^{i} = \delta^{i}\delta^{j-1}$ 等）。所以定义单纯对象时只要给出这两族映射就够 —— 这正是「单纯集 = 一族集合 + 面 + 退化」那种写法的来源。

⚠️ 记号在各书里不统一：有的用 $[n] = \{0, \ldots, n\}$ （本图取这个），有的用 $\Delta^{n}$ 指标准的几何 $n$ -单形（那是几何实现那边的对象，不是这里的指标）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

范畴 → 本页定义引用

$\Delta$ 本身就是一个范畴（对象是 $[n]$ ，态射是保序映射）。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

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