极限的函子性lim functor

极限是函子（Limits as a Functor）

thm.lim-functor · 范畴论 · 极限 · 函子

又称极限的函子性·极限是函子·lim functor

陈述

设 $\mathcal{C}$ 具有所有以 $I$ 为索引的极限。给定图 $F, G : I \to \mathcal{C}$ 与自然变换 $\alpha : F \implies G$ ，族

\{\, \alpha_i \circ \pi^{F}_{i} : \lim F \to G(i) \,\}_{i \in I}

是 $\lim F$ 到 $G$ 的一个锥，于是泛性给出唯一的态射

\lim \alpha : \lim F \longrightarrow \lim G, \qquad \pi^{G}_{i} \circ \lim \alpha = \alpha_i \circ \pi^{F}_{i}

这样得到的 $\lim : \mathcal{C}^{I} \to \mathcal{C}$ 是一个函子。

证明。

锥： $\pi^{F}_{i} : \lim F \to F(i)$ 是 $F$ 的泛锥。对每个 $i$ ， $\alpha_{i}\circ\pi^{F}_{i} : \lim F \to G(i)$ ；由 $\alpha$ 的自然性

G(u)\circ\alpha_{i}\circ\pi^{F}_{i} = \alpha_{j}\circ F(u)\circ\pi^{F}_{i} = \alpha_{j}\circ\pi^{F}_{j},

故这是一族相容的映射，即 $\lim F$ 到 $G$ 的锥 ✓。

唯一态射：由 $\lim G$ 的泛性得到唯一的 $\lim\alpha$ ，并满足 $\pi^{G}_{i}\circ\lim\alpha = \alpha_{i}\circ\pi^{F}_{i}$ ✓。
函子性： $\lim(\mathrm{id}_{F})$ 与 $\mathrm{id}_{\lim F}$ 都是使 $\pi^{F}_{i}\circ(-) = \pi^{F}_{i}$ 的态射，由唯一性相等 ✓；同理 $\lim(\beta\alpha)$ 与 $(\lim\beta)(\lim\alpha)$ 都与同一个锥相容，故相等 ✓。

于是 $\lim : \mathcal{C}^{I}\to\mathcal{C}$ 是函子 ✓。∎

这就是「泛性」的标准用法：先造一个锥，再让唯一性把态射免费送上门。极限的对象层是构造，态射层是泛性，两者合起来才是函子。

有了它，「 $\lim$ 保持某个性质」才说得通 —— 后面讨论「某个函子保极限」时，正是拿这个函子去做文章。