终对象 / 始对象

终对象与始对象（Terminal / Initial Object）

def.final-initial · 范畴论 · 极限 · 空图

又称终对象·始对象·terminal object·initial object·零对象·Definition 1.3.5·Def 1.3.5

陈述

C\mathcal{C} 的终对象 1C\mathbf{1}_{\mathcal{C}} 是空图 ∅→C\emptyset \to \mathcal{C} 的极限，始对象 0C\mathbf{0}_{\mathcal{C}} 是它的余极限。用同构集来刻画：

Hom⁡C(X,1C)={∗},Hom⁡C(0C,X)={∗}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, \mathbf{1}_{\mathcal{C}}) = \{*\}, \qquad \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{0}_{\mathcal{C}}, X) = \{*\}

（对每个对象 XX 都恰好只有一个态射）。二者同时存在且同构时，叫零对象。

说明

例：在 Set\mathbf{Set} 里 0=∅\mathbf{0} = \emptyset（射入 XX 的映射只有空映射）、1={∅}\mathbf{1} = \{\emptyset\}（射入单点集的映射唯一）。在 Top\mathbf{Top} 里相同。在 Ab\mathbf{Ab} 里两者都是 {0}\{0\}。

另一头：Z\mathbb{Z} 是环范畴的始对象 —— 每个环都有唯一的 Z→R\mathbb{Z} \to R。所以说 Z\mathbb{Z}「在所有环里泛」，说的正是这件事。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 1 条

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