锥

锥与余锥（Cone / Cocone）

定义
依赖深度 layer 10
范畴论
图与极限

def.cone · 范畴论 · 锥 · 自然变换

又称锥·cone·余锥·cocone·Definition 1.3.3·Def 1.3.3

陈述

设 $D : I \to \mathcal{C}$ 是一个图。 $D$ 上的锥是一个对象 $X \in \mathcal{C}$ 连同一族态射

p_i : X \longrightarrow D(i) \qquad (i \in I)

使得对 $I$ 中每条 $\alpha : i \to j$ 都有

D(\alpha) \circ p_i = p_j

等价地说，锥就是从常图 $\Delta X$ 到 $D$ 的一个自然变换。把其中的箭头全部反向，得到余锥。

说明

直观： $X$ 站在图外面，往 $D$ 的每个位置上各投一束光，而且要求投影之间彼此相容（先投影再走图中的箭头，与直接投影到终点，结果一样）。

$X$ 固定时， $D$ 上的锥恰好是自然变换集 $\operatorname{Nat}(\Delta X, D)$ ，所以「锥」不是新东西，只是把自然变换换了个说法。

它指向谁（出边）

定义引用 2

极限用到本页定义引用

极限的定义是「泛锥」：锥是原料，泛性质是筛选条件。
元素范畴用到本页定义引用

「泛 = 辅助范畴的始 / 终对象」正是锥的「泛」的来源：极限就是锥范畴的终对象。

谁指向它（入边）

定义引用 2

映射 → 本页定义引用

锥是一族态射 $p_i : X \to D(i)$ ，族的底层是一个以 $I$ 的对象为定义域的函数。
自然变换 → 本页定义引用

锥就是常图到 $D$ 的自然变换 $\Delta X \implies D$ ，相容性条件正是自然性方块。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

常见问法 2 条

什么是交换图也看图与交换图、极限
极限是什么也看极限、图与交换图

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