滤过范畴

滤过范畴与滤过余极限（Filtered Category）

def.filtered-category · 范畴论 · 滤过 · filtered · 余极限 · 有向集

又称滤过范畴·filtered category·filtered·滤过余极限·有限余锥·cocone·Definition 1.4.1·Def 1.4.1·Exercise 1.40

陈述

范畴 II 叫滤过的（filtered），如果：

  1. 非空：II 至少有一个对象；
  2. 上界：对任意 i,j∈Ii, j \in I，存在 k∈Ik \in I 与态射 i→ki \to k、j→kj \to k；
  3. 余等化：对任意平行的 u,v:i⇉ju, v : i \rightrightarrows j，存在 w:j→kw : j \to k 使 w∘u=w∘vw \circ u = w \circ v。

等价的说法是：II 中每个有限图都有余锥。 沿滤过范畴取的余极限叫滤过余极限。

说明

三条   ⟺  \iff 有限余锥：三条正好对应「有限图的余锥存在」的三种情形 —— 空图（就是第 1 条）、两个点（第 2 条）、一对平行箭头（第 3 条）。所以「滤过」=「有限图都有余锥」= 所有信息都能在后面被接住。

与有向集的关系：有向集（偏序集 + 任意两元有上界）看成范畴就是滤过的；反过来，任何滤过范畴都能换成一个共尾的有向集（见「滤过范畴可换成有向集」）。所以「滤过余极限」与「沿有向集的余极限」是同一件事。

⭐ 为什么处处要求它：滤过余极限在 Set\mathbf{Set}、A-ModA\text{-}\mathbf{Mod}、CondAb\mathrm{CondAb} 里都正合（与有限极限交换），这是 Grothendieck 的 AB5 公理，也是同调代数挑范畴时的关键条件。沿一般范畴取余极限没有这条好性质。

⚠️ 与「链」区分：链是全序子集，比滤过强；滤过只要求「有共同上界」，任意两元之间不必可比。

它指向谁（出边）

定义引用 7

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 3 条

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