滤过极限的上同调

说明

⚠️ 注意方向：极限 $X = \varprojlim X_{i}$ 在拓扑这一侧，而它上面的上同调却成了余极限 —— 上同调把方向翻过来。这条是「用越来越精细的有限块逼近整体，再取上同调」的合法性来源。

证明（走 Čech）。 设 $\pi_{i} : X \to X_{i}$ 是投影。两件事：

1. $X$ 的覆盖有「从某个 $X_{i}$ 拉回来」的细化。 $X$ 落在乘积 $\prod_{i} X_{i}$ 里，而一个开覆盖的每个成员只约束有限多个坐标（乘积拓扑的定义），紧性再把「有限多个」压成「有限个覆盖成员」；于是这个覆盖被某个 $\pi_{i}^{-1}(\mathfrak{X})$ 细化，$\mathfrak{X}$ 是某个 $X_{i}$ 的覆盖。
2. $M$ 常值 $\implies$ Čech 复形沿 $\pi_{i}$ 拉回不变。 常值系数的交叠项只依赖「有几块、怎么叠」，与具体开集无关，所以 $\check{C}^{\bullet}(\pi_{i}^{-1}(\mathfrak{X}), M) = \check{C}^{\bullet}(\mathfrak{X}, M)$，取同调得 $\check{H}^{n}(\pi_{i}^{-1}(\mathfrak{X}), M) = \check{H}^{n}(\mathfrak{X}, M)$。

把 1、2 合起来：$\{\check{H}^{n}(\pi_{i}^{-1}(\mathfrak{X}), M)\}$ 这个沿 $i$ 的系统与 $\{\check{H}^{n}(\mathfrak{X}, M)\}_{\mathfrak{X} \in \mathrm{Cov}(X_{i})}$ 共尾，而 Čech 上同调是沿覆盖的滤过余极限，于是 $\check{H}^{n}(X, M) = \varinjlim_{i} \check{H}^{n}(X_{i}, M)$。 最后两端各用一次「紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调」，得到要证的等式。∎

⭐ 用途：把一个大（可能是无穷维、非紧）对象的上同调，降维成一族紧 Hausdorff 块上同调的滤过余极限。这类「先逐块算、再取余极限」的手法在 §8.3 的 Breen–Deligne 谱序列里反复出现。