Stone 空间上的上同调为零

说明

证明。 $S$ 紧 Hausdorff，所以可以用 Čech 上同调算（上一条）。而完全不连通 + 紧 Hausdorff 给出一条极强的细化性质：

• 任何覆盖都有有限的、两两不交的闭开（clopen）细化。 取任一覆盖，用紧性抽出有限子覆盖；再由完全不连通，每个点有包含在某个覆盖成员里的闭开邻域；有限多个这样的闭开集两两求差，就得到一族两两不交的闭开集盖住 $S$（这是「零维 + 紧」的标准操作）。
• 于是只需算两两不交的覆盖 $\mathfrak{X} = (S_{k})_{k=0}^{r}$ 的 Čech 复形：$S_{k} \cap S_{l} = \emptyset$（$k \ne l$），所以所有高阶交叠都是空集，Čech 复形只在 $0$ 次有非零项，集中在 $0$ 次。
• 把覆盖换成细化不改变 Čech 上同调（上一条已证沿覆盖取余极限），而每个覆盖都细化到一个「集中在 $0$ 次」的复形，故 $\check{H}^{n}(S, M) = 0$（$n \ne 0$）。再用紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调即得。∎

⭐ 这就是凝聚态数学里 Stonean 空间好用的根源：层上同调在它们上面自动退化，$\Gamma(S, -)$ 直接就是正合函子，于是「取截面」不用付出任何导出代价。