上同调就是 Ext

说明

证明。 关键在于这两个函子本来是同一个函子。由 $\mathbb{Z}\cdot X$ 的泛性质（它是自由对象：$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot X, M) = \operatorname{Hom}(X, M)$）✓，

即「取截面」函子与「$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\cdot X, -)$」逐字相同 ✓。右导出函子只依赖函子本身，故两者的右导出函子在导出范畴里同构：$\operatorname{R}\Gamma(X, -) \cong \operatorname{RHom}(\mathbb{Z}\cdot X, -)$ ✓；逐类取上同调就得到第二个同构 ✓。∎

⭐ 这条是两套语言之间的桥：一边是几何味的「截面」（$\Gamma(X,-)$），一边是代数味的「导出 Hom」。有了它，层上同调的一切计算都能翻译成导出范畴里的 Ext 计算 —— 反过来，Ext 的几何意义也清楚了：它就是某个空间上的上同调。

📌 与「Stonean 上的截面公式」对照看：那条把 Ext 写成 $\operatorname{Ext}^{n}(M \cdot S, N)$，这条把 Ext 写成 $H^{n}(X, N)$，两条合起来正是「$H^{n}(X, N)$ 可以用 $\mathbb{Z}\cdot X$ 的消解来算」。