无环 ⟺ Čech 上同调为零

说明

证明。 关键的中间物是预层的谱序列（由「Čech 到上同调」那条沿覆盖取余极限、再用滤过余极限正合得到）

• $\implies$ 方向：若 $M$ 无环，则 $H^{q}(M) = 0$（$q \ne 0$），第一页只剩 $q = 0$ 那一行，谱序列立刻退化，给出 $\check{H}^{n}(M) = 0$（$n \ne 0$）。
• $\Longleftarrow$ 方向：对 $n$ 归纳，证「$0 < p + q \le n$ 时 $E^{p,q}_{2} = 0$」。设 $0 < q \le n$：由归纳假设（$H^{q}(M)$ 在更低的总次数上）得 $H^{q}(M) = 0$，于是这一整个 $q$ 行是 $0$；又 $q \ne 0$ 时 $E^{0,q}_{2} = 0$（$\check{H}^{0}$ 只看到整体截面），而 $p \ne 0$ 时 $E^{p,0}_{2} = \check{H}^{p}(H^{0}(M)) = \check{H}^{p}(M) = 0$（假设）。所以总次数 $= n$ 的格子全灭，归纳走通。∎

⭐ 读法：Čech 上同调完全检测无环性 —— 它虽然一般只是「逼近」真上同调，但「逼不逼得零」这件事与真上同调完全一致。