Cartan–Leray 谱序列

Cartan–Leray：Čech 到层上同调的谱序列

定理
依赖深度 layer 18
同调代数
层上同调

thm.cartan-leray · 同调代数 · Cartan · Leray · 谱序列 · Čech

又称Cartan-Leray·Cartan–Leray 谱序列·Theorem 7.3.6·Thm 7.3.6·Corollary 7.3.7

陈述

若 $\mathfrak{X}$ 是 $X$ 的一个覆盖、 $M$ 是阿贝尔层，则存在谱序列

E^{p,q}_{2} := \check{H}^{p}\bigl(\mathfrak{X},\ H^{q}(M)\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(X, M).

说明

⭐ 它说的是：Čech 上同调（右边那个 $\check{H}^{p}$ ）用 $H^{q}(M)$ 当系数，收敛到真正的层上同调。于是「便宜的算法」怎么逼近「贵的算法」这件事被讲清楚了。

推论：若覆盖的每一层上 $H^{q} = 0$ （ $q \ne 0$ ），则 $\check{H}^{n} \cong H^{n}$ —— 此时 Čech 直接给出层上同调。

证明走法：取 $\mathfrak{X}$ 生成的筛 $R$ ，则 $\Gamma(\mathfrak{X}, M) = \Gamma(R, \mathcal{H}(M))$ ； $\mathcal{H}$ 保内射，于是由 Grothendieck 谱序列 + 上一条得到。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Čech 到上同调的谱序列推出

Cartan–Leray（固定覆盖） $\implies$ 取遍覆盖的谱序列

先对 $X$ 的每个覆盖 $\mathfrak{X}$ 用 Cartan–Leray：存在谱序列
$E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}\bigl(\mathfrak{X},\ H^{q}(M)\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(X, M) ✓$
（右端与覆盖无关，正是层上同调本身）✓。再沿所有覆盖取滤过余极限： $\check{H}^{p}(X, -) = \varinjlim_{\mathfrak{X} \in \operatorname{Cov}(X)} \check{H}^{p}(\mathfrak{X}, -)$ ✓（Čech 上同调就是沿覆盖取的余极限）。滤过余极限正合（保有限极限、保正合列），所以它把每一页的谱序列逐项保下来 —— 页、微分、以及收敛到同一个 $H^{p+q}(X, M)$ 都被保住 ✓。于是得到 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X, M)$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

Čech 上同调 → 本页定义引用

谱序列的第一页是 Čech 上同调。
谱序列 → 本页定义引用

结论是一个谱序列。

参考

Le Stum, Theorem 7.3.6

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