拓扑斯态射的导出函子

Rnf∗MR^{n}f_{*}M 是 X′↦Hn(f−1(X′),M)X' \mapsto H^{n}(f^{-1}(X'), M) 的层化

prop.topos-morphism-derived · 同调代数 · 拓扑斯 · 态射 · 导出函子

又称拓扑斯态射的导出函子·Proposition 7.4.1·Prop 7.4.1·Exercise 7.53

陈述

若 f:T→T′f : \mathcal{T} \to \mathcal{T}' 是拓扑斯的态射，则 Rnf∗MR^{n}f_{*}M 是预层 X′↦Hn(f−1(X′), M)X' \mapsto H^{n}\bigl(f^{-1}(X'),\ M\bigr) 所层化得到的层。

说明

⭐ 读法：想算拓扑斯态射的导出函子，先逐点算「另一边像处的上同调」，再把结果层化回去。这与层上同调的定义（截面函子的右导出函子）是同一回事，只是把「一个点的截面」换成了「拓扑斯态射的拉回」。

证明。 记 f=(f−1⊣f∗)f = (f^{-1} \dashv f_{})，并把 f−1f^{-1}、f∗f_{} 在预层上的版本记作 f^−1\hat{f}^{-1}、f^∗\hat{f}_{*}。两个关键事实：

于是 Rf∗=♯∘f^∗∘RHR f_{} = \sharp \circ \hat{f}_{} \circ R H（记 HH 为「把层看成预层」，它是左正合且正合的嵌入）。取第 nn 阶：Rnf∗MR^{n}f_{}M 就是预层 f^∗Hn(M)\hat{f}_{}H^{n}(M) 的层化。 最后认这个预层：由伴随 f−1⊣f^∗f^{-1} \dashv \hat{f}_{*}，对每个 X′∈T′X' \in \mathcal{T}'

(f^∗Hn(M))(X′)=Hn(M)(f−1(X′))=Hn(f−1(X′), M).\bigl(\hat{f}_{*}H^{n}(M)\bigr)(X') = H^{n}(M)\bigl(f^{-1}(X')\bigr) = H^{n}\bigl(f^{-1}(X'),\ M\bigr).

两边一合就是要证的。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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