推前的复合

命题：Rf∗′∘Rf∗=R(f′∘f)∗Rf'_{*} \circ Rf_{*} = R(f' \circ f)_{*}

prop.derived-pushforward-composition · 命题 · 推前 · 导出函子 · Grothendieck 谱序列

又称Exercise 7.55

陈述

设 T→ f T′→ f′ T′′\mathcal{T} \xrightarrow{\ f\ } \mathcal{T}' \xrightarrow{\ f'\ } \mathcal{T}'' 是拓扑斯态射的序列。则

Rf∗′∘Rf∗  =  R(f′∘f)∗,Rf'_{*} \circ Rf_{*} \;=\; R(f' \circ f)_{*},

并且有谱序列 E2p,q=Rpf∗′(Rqf∗M)  ⟹  Rp+q(f′∘f)∗ME^{p,q}_{2} = R^{p}f'_{}\bigl(R^{q}f_{}M\bigr) \implies R^{p+q}(f' \circ f)_{*}M。

说明

证明。 这是 Grothendieck 谱序列的又一特例：f∗f_{} 把内射层送到 f∗′f'_{}-零调对象 ✓，于是在 Γ(X′′,⋅)\Gamma\bigl(X'', \cdot\bigr) 这一层套用 Grothendieck 谱序列即得 ✓；谱序列在 f∗f_{*} 严格保持内射时退化成上面那条等式 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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