Čech 到上同调的谱序列

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 一次 Čech 就是一次上同调推出
  Čech 到上同调谱序列 + 高次预层为零 $\implies$ 一次 Čech 就是一次上同调

  谱序列 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X,M)$ ✓ 里，$q \ne 0$ 的项全为零 ✓，特别地 $E^{0,1}_{2} = 0$。 五项正合列 $0 \to E^{1,0}_{2} \to H^{1} \to E^{0,1}_{2} \to \cdots$ ✓ 于是给出 $E^{1,0}_{2} \cong H^{1}$，而 $E^{1,0}_{2} = \check{H}^{1}(X, M)$ ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• Cartan–Leray 谱序列、Čech 上同调是沿覆盖筛的余极限 ⟹ 本页推出
  Cartan–Leray（固定覆盖）$\implies$ 取遍覆盖的谱序列

  先对 $X$ 的每个覆盖 $\mathfrak{X}$ 用 Cartan–Leray：存在谱序列

  $$E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}\bigl(\mathfrak{X},\ H^{q}(M)\bigr) \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(X, M) ✓$$

  （右端与覆盖无关，正是层上同调本身）✓。 再沿所有覆盖取滤过余极限：$\check{H}^{p}(X, -) = \varinjlim_{\mathfrak{X} \in \operatorname{Cov}(X)} \check{H}^{p}(\mathfrak{X}, -)$ ✓（Čech 上同调就是沿覆盖取的余极限）。 滤过余极限正合（保有限极限、保正合列），所以它把每一页的谱序列逐项保下来 —— 页、微分、以及收敛到同一个 $H^{p+q}(X, M)$ 都被保住 ✓。于是得到 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(X, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X, M)$ ✓。∎

定义引用 1

• 层上同调 → 本页定义引用

  推论把 Čech 上同调与层上同调用一条谱序列连起来。