上同调与不交并

命题： $H^{n}(\coprod_{i} X_{i}, M) \cong \prod_{i} H^{n}(X_{i}, M)$

prop.cohomology-of-coproduct · 命题 · 层上同调 · 不交并

又称上同调与不交并·Exercise 7.38

陈述

设 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯， $(X_{i})_{i \in I}$ 是一族对象， $M$ 是 $\mathcal{T}$ 中的阿贝尔群。则对一切 $n \ge 0$

H^{n}\Bigl(\coprod_{i \in I} X_{i},\ M\Bigr) \;\cong\; \prod_{i \in I} H^{n}(X_{i},\ M).

证明。 取 $M$ 的内射消解 $I^{\bullet}$ ✓。截面函子把不交并送成积：

\Gamma\Bigl(\coprod_{i} X_{i},\ -\Bigr) \;=\; \prod_{i} \Gamma(X_{i},\ -) ✓

（从余积出发的映射恰是一族相容的映射；等价地， $\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}(h_{X}, -)$ 而 $h$ 保余积。）于是

\Gamma\Bigl(\coprod_{i} X_{i},\ I^{\bullet}\Bigr) = \prod_{i} \Gamma(X_{i},\ I^{\bullet}) ✓

在 $\mathbf{Ab}$ 里积是正合的，所以逐项取积不影响上同调的计算：

H^{n}\Bigl(\Gamma\bigl(\coprod_{i} X_{i},\ I^{\bullet}\bigr)\Bigr) \cong \prod_{i} H^{n}\bigl(\Gamma(X_{i},\ I^{\bullet})\bigr) = \prod_{i} H^{n}(X_{i},\ M) ✓

（每个 $\Gamma(X_{i}, I^{\bullet})$ 都算 $H^{n}(X_{i}, M)$ ： $I^{\bullet}$ 逐项内射，对每个测试对象 $X_{i}$ 仍然给出消解。）∎

⭐ 一句话：不交并这一侧是积。离散空间上的零调（ $H^{n}(\coprod_{e}$ ）就是它的直接推论。