紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调

说明

证明思路（经典的比较论证）。 两边都是 $\Gamma(X, -)$ 的导出函子，差别只在「用哪种消解去算」。要证的其实是一件事： 紧 Hausdorff 空间的开覆盖的 Čech 项是 $\Gamma(X, -)$-零调的。 具体地，覆盖 $\mathfrak{X} = (X_{i})_{i}$ 的 Čech 复形每一项是 $\prod_{i} M(X_{i})$ 型的「有限多个可表对象上的取值」（紧性保证可以只取有限覆盖 —— 有限细化在覆盖的滤过系统里是共尾的），而这类对象正是「有截面 $\implies$ 零调」那一套（$\mathbb{Z}\cdot h_{X}$ 投射，见「有截面的态射给出零调」）适用的形状。 于是 Cartan–Leray 谱序列 $E^{p,q}_{2} = \check{H}^{p}(\mathfrak{X}, H^{q}(M)) \implies H^{p+q}(X, M)$ 里 $q > 0$ 的整行消失，退化给出 $\check{H}^{n}(X, M) \cong H^{n}(X, M)$；再沿覆盖取余极限（上一条）即得对所有覆盖成立的结论。∎

⚠️ 「紧」在这里的用处有两处：让有限覆盖在滤过系统里共尾，以及让每个有限覆盖的高阶 Čech 项被零调性吃掉。