局部紧上凝聚态＝层上同调Dyckhoff

说明

⭐ 这条是把两套上同调接起来的桥。 凝聚态上同调是从「$X$ 上的层」算的；层上同调是从「$X$ 的开集上的层」算的。这条说：只要 $X$ 局部紧、系数离散，两边一样。

怎么证。用拓扑斯态射 $c_{X} : \mathrm{Cond}/X \rightleftarrows \mathrm{Open}(X)$ 及其导出函子，得到一条谱序列，其 $E_{2}$ 项是 $R^{q}c_{$}Rqc∗​ 作用在 $M$ 上。关键计算是 $R^{q}c_{$}\underline{M} = 0（$q > 0$），它由茎上的计算给出：茎化之后 $M$ 是离散的，没有高阶信息。谱序列退化，两边同构。

为什么限定「系数离散」。系数一旦带上拓扑（比如实 Banach 空间），$R^{q}c_{*}$ 一般不再消失，两边就对不上了 —— §8.2 要处理的就是这种情形。

📌 用法：任何局部紧空间上的凝聚态上同调，可以直接用经典的层上同调来算（开覆盖、Čech、细层消解那一整套老工具全都能用）。

证明（用 $c_{X}$ 的谱序列，把 $R^{q}c_{X*}$ 算成零）。

• 由 $c_{X}^{-1}(X) = X$（$X$ 作为 $\mathrm{Open}(X)$ 里的对象，逆像取回它自己），得 Grothendieck 谱序列

• 又 $c_{X$}M = McX∗​M=M，所以只需证 $R^{q}c_{X$}M = 0（$q > 0$）。
• $R^{q}c_{X*}M$ 是预层 $U \mapsto H^{q}_{\mathrm{cond}}(U, M)$ 层化得到的层。$X$ 局部紧，它在 $x$ 处的茎是

（$U$ 跑 $x$ 的开邻域、$K$ 跑 $x$ 的紧邻域 —— 局部紧让两个滤过系统共尾）。

• 固定 $x$ 的一个紧邻域 $K$ 与 Stone 空间 $K_{0}$ 连同满射 $K_{0} \twoheadrightarrow K$；对 $x$ 的每个紧邻域 $S \subseteq K$，拉回得 $S_{0} \to S$。Stone 的积与子空间仍是 Stone，所以 $S_{n}$ 全是 Stone 空间，于是由「紧 Hausdorff 上 Čech = 层上同调」与上一条「Stone 上常系数零调」

• 滤过余极限正合，于是茎那个余极限化归到 $S = \{x\}$ 的情形；而单点的 Čech 复形由「有截面 $\implies$ 零调」直接给出零。故 $R^{q}c_{X*}M = 0$（$q>0$），谱序列退化，$H^{n}_{\mathrm{cond}}(X,M) \cong H^{n}_{\mathrm{sheaf}}(X,M)$。∎