连通局部紧到离散只剩 Ext一次

$\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M, N) = 0$ （ $n \ne 1$ ， $M$ 连通、 $N$ 离散）

例
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
同调代数
凝聚态上同调

ex.connected-lc-ext · 凝聚态数学 · Ext · 连通群 · 离散群 · Ex 8.18

又称连通局部紧的 Ext·Exercise 8.18

陈述

设 $M$ 是连通局部紧 Hausdorff 阿贝尔群、 $N$ 是离散阿贝尔群。则 $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M, N) = 0$ ，对一切 $n \ne 1$ 。

说明

和主定理的差别：主定理（局部紧之间只剩 $\operatorname{Ext}^{0}, \operatorname{Ext}^{1}$ ）对源与靶都要求局部紧；这条把条件收窄到「源连通 + 靶离散」，结论里连 $\operatorname{Ext}^{0}$ 也没了 —— 因为连通群到离散群的连续同态只能是平凡的（连通像落在离散拓扑里必为单点）。

证法思路：连通局部紧阿贝尔群可写成「紧连通部分 $\oplus$ 实向量空间」；实向量空间那一块用「实向量空间 $o$ 离散全零」，紧连通那一块用紧群的技术。

⭐ 这条是主定理里「 $N$ 离散」那一支的关键零件。

谁指向它（入边）

定义引用 3

连通与连通分量 → 本页定义引用

源 $M$ 要求连通。
局部紧 Hausdorff 空间 → 本页定义引用

源 $M$ 局部紧 Hausdorff。
扩展群 Ext → 本页定义引用

结论是 Ext 在 $n \ne 1$ 处消失。

参考

Le Stum, Exercise 8.18

常见问法 1 条

局部紧阿贝尔群的高次 Ext 会消失吗也看局部紧阿贝尔群高次 Ext 消失、局部紧阿贝尔群结构定理

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