Stonean 上 Z[S] 的 RHom

命题：RHom⁡Z(Z[S],N)≅N(S)\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S], N) \cong N(S)（SS Stonean）

prop.rhom-zs-sections · 命题 · Ext · Stonean · 截面

又称Stonean 上 Z[S] 的 RHom·Exercise 8.9

陈述

设 SS 是 Stonean 空间，NN 是凝聚态阿贝尔群。则

RHom⁡Z(Z[S], N)  ≅  N(S)\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}[S],\ N\bigr) \;\cong\; N(S)

（右边理解为集中在 00 次的复形，即高次 Ext 全为零）。

说明

证明。 SS Stonean 时 Z[S]\mathbb{Z}[S] 是投射对象：极不连通性给出闭开集上的「截面型」投影性，Z[S]\mathbb{Z}[S] 是那些 Z[C]\mathbb{Z}[C]（CC 闭开）的余极限，投影性沿余极限保持 ✓。于是

Hom⁡Z(Z[S], −)=Γ(S,−)=(N↦N(S))\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}[S],\ -\bigr) = \Gamma(S, -) = \bigl(N \mapsto N(S)\bigr)

是正合函子，它的右导出函子集中在 00 次、且 R0=Γ(S,−)R^{0} = \Gamma(S,-) ✓。因此 RHom⁡(Z[S],N)\operatorname{RHom}(\mathbb{Z}[S], N) 就等于 Hom⁡(Z[S],N)=N(S)\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[S], N) = N(S)（集中在 00 次的复形）✓。∎

⭐ 与「Stonean 上凝聚态阿贝尔群零调」是同一件事的两种说法：系数零调   ⟺  \iff 测试对象 Z[S]\mathbb{Z}[S] 投射。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

同一星团的其他概念 38 个

继续

在星图里打开「Stonean 上 Z[S] 的 RHom」　·　 全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 读图指南与记号表