Ext 的截面公式

推论：Ext⁡n(Z⋅X,N)(S)≅Hn(X×S,N)\operatorname{Ext}^{n}(\mathbb{Z}\cdot X, N)(S) \cong H^{n}(X \times S, N)

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又称Ext 的截面公式·Exercise 8.8

陈述

设 XX 是凝聚态集、NN 是凝聚态阿贝尔群、SS 是 Stonean 空间。则对一切 n≥0n \ge 0

Ext⁡Zn(Z⋅X, N)(S)  ≅  Hn(X×S, N).\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X,\ N\bigr)(S) \;\cong\; H^{n}\bigl(X \times S,\ N\bigr).

说明

证明。 把 Stonean 上的截面公式 Ext⁡n(M,N)(S)≅Ext⁡n(M⋅S, N)\operatorname{Ext}^{n}(M, N)(S) \cong \operatorname{Ext}^{n}(M \cdot S,\ N) 用在 M=Z⋅XM = \mathbb{Z}\cdot X 上：

Ext⁡n(Z⋅X, N)(S)≅Ext⁡n(Z⋅X⊗ZZ[S], N)≅Ext⁡n(Z⋅(X×S), N)✓\operatorname{Ext}^{n}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X,\ N\bigr)(S) \cong \operatorname{Ext}^{n}\bigl(\mathbb{Z}\cdot X \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[S],\ N\bigr) \cong \operatorname{Ext}^{n}\bigl(\mathbb{Z}\cdot (X \times S),\ N\bigr) ✓

第二式的依据是自由对象的两条泛性质拼起来：Z⋅X⊗ZZ⋅Y≅Z⋅(X×Y)\mathbb{Z}\cdot X \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\cdot Y \cong \mathbb{Z}\cdot (X \times Y) ✓。 又 Z⋅Y\mathbb{Z}\cdot Y 是自由的：Hom⁡Z(Z⋅Y,−)=Γ(Y,−)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot Y, -) = \Gamma(Y, -)，于是

Ext⁡Zn(Z⋅Y, N)=RnΓ(Y,−)(N)=Hn(Y,N)✓\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot Y,\ N\bigr) = R^{n}\Gamma(Y, -)(N) = H^{n}(Y, N) ✓

取 Y=X×SY = X \times S 即得结论 ✓。∎

⭐ 这一条把「层的 Ext 在一个截面上的值」彻底翻译成「一个具体空间的上同调」：要算 Ext⁡n(Z⋅X,N)(S)\operatorname{Ext}^{n}(\mathbb{Z}\cdot X, N)(S)，就去算 X×SX \times S 的上同调。后面两条（离散空间、Banach 系数）都是它的特例。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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