K-有界正合在完备化下不变k-bounded completion

说明

作用：这条把「半范数」的一般情形归结为 Banach 情形。于是后面只要在 Banach 层面上证定理，一般情形自动跟着走。

为什么成立。完备化把 $M^{n}$ 嵌成一个稠密子空间，而 $K$-有界正合只用到范数不等式与「任取 $\varepsilon > 0$」—— 这类条件在取稠密子空间时两边都保持：稠密性保证能在 $M^{n}$ 里找到足够好的逼近，而完备空间的极限点又能落回 $\widehat{M}^{\bullet}$。

证明（两个方向各算一次 $\varepsilon/2$）。 先商掉 $M_{0}$（$K$-有界正合在商掉范数为零的元素下不变），于是可设 $M^{\bullet} \subseteq \widehat{M}^{\bullet}$ 是稠密保范嵌入。

• $\implies$：给 $s \in \widehat{M}^{n}$ 与 $\varepsilon>0$。由稠密性取 $t \in M^{n}$ 使 $\|s - t\| \le \frac{\varepsilon}{2(1+K\|d^{n}\|)}$；由 $M^{\bullet}$ 的 $K$-有界性取 $s' \in M^{n+1}$ 使 $\|t - ds'\| \le K\|dt\| + \frac{\varepsilon}{2}$。于是

• $\Longleftarrow$：给 $s \in M^{n} \subseteq \widehat{M}^{n}$。由 $\widehat{M}^{\bullet}$ 的 $K$-有界性取 $t' \in \widehat{M}^{n+1}$ 使 $\|s - dt'\| \le K\|ds\| + \frac{\varepsilon}{2}$；再由稠密性取 $s' \in M^{n+1}$ 使 $\|s' - t'\| \le \frac{\varepsilon}{2(1+\|d^{n+1}\|)}$。于是 $\|s - ds'\| \le K\|ds\| + \varepsilon$。∎