相邻两条 K-有界 推出 正合

说明

这是「定量 $\implies$ 定性」的核心一步。 给定闭链 $s \in M^{n}$（即 $d^{n}s = 0$），要造出 $s' \in M^{n+1}$ 使 $ds' = s$。

造法（几何级数）。由上一条 $K$-有界条件，先取一个几乎的原像 $s'_{1}$，误差 $e_{1} = s - ds'_{1}$ 满足 $\|e_{1}\| \le K\|ds\| + \varepsilon = \varepsilon$（用了 $ds = 0$）。现在 $e_{1}$ 又是 $M^{n}$ 里的闭链（因为 $de_{1} = ds - d^{2}s'_{1} = 0$），可以对它再取一次几乎的原像，误差 $\le \varepsilon/2$，如此迭代。

关键的第二处 $K$-有界：为保证迭代出的 $s'_{i}$ 本身收敛，每一步都要用 $M^{n-1}$ 处的 $K$-有界正合把「原像之间差了多少」控制住 —— 这样 $\|s'_{i} - s'_{i+1}\|$ 被一个几何级数控制，$M^{n+1}$ 完备保证极限存在。

结论：$s' = \sum_{i \ge 1}(s'_{i+1} - s'_{i})$ 的收敛和的 $d$ 正好是 $s$。于是每个闭链都是边界，即正合。

严格写法。 设 $s \in M^{n}$、$ds = 0$。

• 由 $M^{n}$ 处 $K$-有界，取 $s'_{1} \in M^{n+1}$ 使 $\|s - ds'_{1}\| \le \frac{1}{2^{2}}$；误差 $e_{1} := s - ds'_{1}$ 满足 $de_{1} = 0$，故对 $e_{1}$ 再用一次得 $s'_{2} \in M^{n+1}$ 使 $\|e_{1} - d(s'_{2}-s'_{1})\| \le \frac{1}{2^{3}}$，如此递推，得 $s'_{i}$ 与 $e_{i} = s - ds'_{i}$，$\|e_{i}\| \le 2^{-i-1}$。
• 这一步用到「相邻两处」：要控制 $\|s'_{i+1} - s'_{i}\|$ 本身（而不只是它的边界），得把 $M^{n+1}$ 处的 $K$-有界性用在元素 $s'_{i+1}-s'_{i}$ 上：

• 于是 $(s'_{i})$ 是 Cauchy 列，$M^{n+1}$ 完备给出极限 $s' := \lim_{i} s'_{i}$。
• $d$ 连续，故 $ds' = \lim_{i} ds'_{i} = \lim_{i}(s - e_{i}) = s$（因 $\|e_{i}\| \to 0$）。∎