紧 Haus 到实 Banach 全零

说明

与上一条对偶：上一条说「实向量空间 $o$ 离散」全零；这条说「紧 Hausdorff 群 $o$ 实 Banach」全零。两条合起来正好是后面「分三类归约」时用来掐掉两端的两把剪刀。

证法里的关键工具是分解上乘 $p$ 的同伦：紧 Hausdorff 群上有「乘 $2$」这个映射，它在 Banach 空间里可逆（除以 $2$）；利用 $2 - [2]$ 的同伦，可以把一个闭链写成 $d$(一个收敛级数)，即每个闭链都是边界。收敛用 Banach 的完备性。

⚠️ 要求 $N$ 是实 Banach 空间（带 $\mathbb{R}$-模结构），不是任意 Banach 阿贝尔群 —— 除以 $2$ 那一步要用到标量结构。

证明（把闭链写成收敛级数）。 仍用 Breen–Deligne 谱序列 $E^{p,q}_{1} = \bigoplus_{i} H^{q}(M^{s_{p,i}}\times S, N) \implies \operatorname{Ext}^{p+q}_{\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。

• 由 Thm（实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调），$M^{s_{p,i}}\times S$ 是紧 Hausdorff（$M$ 紧、$S$ Stonean 紧），故 $q > 0$ 的整行是 $0$；只剩下 $q = 0$ 那一行，即复形 $K^{\bullet}$，$K^{n} := \bigoplus_{i} C\bigl(M^{s_{n,i}}\times S,\ N\bigr)$（Banach 空间）。只要证 $K^{\bullet}$ 零调。
• 关键工具是「乘 $2$ 与 $[2]$ 同伦」：由 $2 - [2] = dh + hd$，对闭链 $f \in K^{n}$（$df = 0$）有 $2f - [2]f = dh^{n+1}f$，于是

• 把这一式对 $f$ 反复代入 $n$ 次：

• 因为 $\|[2]\| \le 1$、$\|h^{n+1}\| \le \|h^{n+1}\| < \infty$ 且 $N$ 是 Banach（完备），级数 $\sum_{k} \frac{1}{2^{k}} h^{n+1}([2^{k-1}]f)$ 收敛；又 $\frac{1}{2^{n}}[2^{n}]f \to 0$。令 $n\to\infty$：

即每个闭链都是边界，$K^{\bullet}$ 零调。∎