有限不交覆盖的 Čech 零调

引理：紧 Hausdorff 空间上有限不交覆盖的 Čech 高次为零

lem.cech-finite-disjoint-acyclic · 引理 · Čech 上同调 · 零调 · 凝聚态

又称有限不交覆盖的 Čech 零调·Exercise 8.1

陈述

设 $M$ 是凝聚态阿贝尔群， $S$ 是紧 Hausdorff 空间，且

S = \bigsqcup_{i=1}^{r} S_{i}

是一个有限不交覆盖（ $S_{i}$ 两两不交、并为 $S$ ）。则

\check{H}^{n}(S, M) = 0 \qquad (n > 0).

证明。 把覆盖看成族 $(S_{i} \hookrightarrow S)_{i=1}^{r}$ 。由两两不交且并为 $S$ ，规范映射

\coprod_{i=1}^{r} S_{i} \xrightarrow{\ \cong\ } S

是同构，于是它有截面（取它的逆）✓。由「带截面的覆盖上 Čech 复形同伦平凡」，这个族的增广 Čech 复形同伦平凡，从而正次数上同调为零 ✓。∎

⭐ 它把有限不交覆盖这一类从 Čech 零调的检验里划掉 —— 于是只剩「单支满射」要处理，这正是「Stone 空间上常系数零调」的证明要分两步走的原因。