Z/R/T 的 RHom 计算表

说明

怎么读这张表（$T = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$）：

• 第一行（源是 $\mathbb{Z}$）：$\operatorname{RHom}(\mathbb{Z}, N) = N$ —— 自由对象上没有高阶，只剩 0 次；
• 第二行第一列 $0$：实向量空间 $o$ 离散全零（可除性塌掉）；
• 第二行其余：有限维实 Banach 之间的 RHom 只有 0 次，值为 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(M, N)$ —— 这里是 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \mathbb{R}$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, T)$；
• 第三行第二列 $0$：紧 Hausdorff $o$ 实 Banach 全零；
• 第三行第一列 $\mathbb{Z}[-1]$：由 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to T \to 0$，中间项是 $0$，只剩下一步降一次的 $\mathbb{Z}$；
• 右下角 $\mathbb{Z}$：同样由 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to T \to 0$ 与 $\operatorname{RHom}(T, \mathbb{R}) = 0$ 得到。

这张表是全章计算的浓缩总结：三条归零定理（$\mathbb{R} \to$ 离散、紧 $\to \mathbb{R}$、以及自由源）加上 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to T \to 0$ 这一条正合列，就能把三类基本对象之间的所有 RHom 全部算出来。