扩展群 Extextension group

说明

几条立刻要记住的（对 $\mathcal{A}$ 里的对象 $M, N$）：

• $\operatorname{Ext}^{n}(M, N) = 0$（$n < 0$）；
• $\operatorname{Ext}^{0}(M, N) = \operatorname{Hom}(M, N)$；
• $\operatorname{Ext}^{1}(M, N)$ 分类 $N$ 被 $M$ 的扩张（同构意义下）；
• 在 $\mathbf{Ab}$ 里 $\operatorname{Ext}^{n}(M, N) = 0$（$n > 1$）；
• $\operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$，$d = \gcd(m, n)$。

⭐ 两种算法：$\operatorname{Ext}^{n} =$ 「导出范畴里的 Hom」（这条定义）$= R^{n}\operatorname{Hom}$（用内射消解算）。两者一致 —— 见下一条。