全不连通与 Stone 空间

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ Stone ⟺ 投射有限推出
  Stone 空间 $\iff$ 投射有限空间

  （$\Longleftarrow$） 投射有限空间是 Stone 空间的有向极限。Stone 空间对极限封闭（Stone 空间是反射子范畴的推论），而有限离散空间显然是 Stone 空间，所以极限仍是 Stone。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $S$ 是 Stone 空间。先证闭开集构成拓扑基。

  取 $x \in S$ 与开邻域 $O \ni x$。令 $\mathcal{F} = \{K : K \text{ 闭开},\ x \in K\} \cup \{\, O^{c} \,\}$，则 $\bigcap \mathcal{F} = \emptyset$：$O^{c}$ 与「含 $x$ 的闭开集」的交为空，因为 $x \notin O^{c}$。由 $S$ 紧，存在有限个 $K_{1}, \ldots, K_{n}$ 使

  $$(K_{1} \cap \ldots \cap K_{n}) \cap O^{c} = \emptyset$$

  令 $U := K_{1} \cap \ldots \cap K_{n}$，它是闭开的、含 $x$、且 $U \subseteq O$。所以闭开集构成基。

  现在看有限闭开划分的集合：$\mathcal{E} := \{\, E \subseteq \operatorname{Open}(S) \setminus \{\emptyset\} : E \text{ 有限},\ E \text{ 中元素两两不交且闭开},\ \bigcup E = S \,\}$，按「加细」构成一个逆向系统（加细是部分序，任意两个划分都有公共加细，所以它是有向的）。每个划分 $E$ 给出商映射 $S \to E$（送 $x$ 到包含它的那一块），目标有限离散。

  由此得到连续映射 $S \to \varprojlim_{E} E$。它是连续双射：闭开集构成基保证任何两个单点都能被某个划分分开（单射），而满射性由每块都非空得到。紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚，于是 $S \cong \varprojlim_{E} E$，即 $S$ 投射有限。∎

  两头各用了一条前面的结论：正向用闭开集构成基（这是「全不连通 + 紧」的直接后果），反向用 Stone 空间对极限封闭。

• 本页 ⟹ Gleason 定理推出
  投射对象 $\iff$ Stonean 空间

  （投射 $\Longrightarrow$ Stonean） 设 $S$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 的投射对象，要证 $S$ 极端不连通，即任一开集 $U$ 的闭包闭开。

  令 $F := U^{c}$，考虑 $p : U \sqcup F \to S$（$U \sqcup F$ 取不交并拓扑，$p$ 在 $U$ 与 $F$ 上取含入）—— 它是连续满射。由投射性，$p$ 有连续截面 $s : S \to U \sqcup F$，即 $p \circ s = 1_{S}$。

  于是 $s(U) \subseteq U$ 且 $p(s(U)) = U$；又 $p(F) \cap U = \emptyset$ 迫使 $s(U) \subseteq U$。开集在连续映射下的原像开：$U = s^{-1}(U)$ 是开的；再由 $s^{-1}(F) = U^{c}$ 也开可得 $U$ 闭。所以 $U$ 闭开，$S$ 极端不连通。∎

  （Stonean $\Longrightarrow$ 投射） 因为 $\mathbf{CHaus}$ 有纤维积、满态射在这里是「universal」的，投射性等价于「每个满态射都有截面」。所以只要证：$S$ Stonean 时每个满态射 $f : T \to S$ 都有截面。

  由「满射有极小闭子集」那条引理，可以设 $f$ 在极小意义下满：即没有真闭子集 $T' \subset T$ 使 $f|_{T'}$ 满。我们来证这样的 $f$ 是单射。

  反设 $x \ne x' \in T$ 且 $f(x) = f(x')$。取不交邻域 $U \ni x$、$U' \ni x'$。$f$ 是闭映射（紧到 Hausdorff 的连续映射把闭集送到闭集），所以 $S_{1} := f(U^{c})$ 与 $S_{1}' := f(U'^{c})$ 是 $S$ 中的闭集。由 $f$ 的极小满性，$f|_{U^{c}}$ 与 $f|_{U'^{c}}$ 都不满，故 $S_{1}, S_{1}' \subset S$；于是它们各自的补 $V := S \setminus S_{1}$、$V' := S \setminus S_{1}'$ 是非空开集，且 $V \subseteq f(U)$、$V' \subseteq f(U')$。

  $f(x) = f(x') \in V \cap V'$，所以 $V \cap V' \ne \emptyset$。又 $U, U'$ 不交，故 $f(U) \cap f(U')$ 中的点只有可能来自交叠，于是 $V \cap V' \subseteq \overline{f(U)} \cap \overline{f(U')}$。而 $V \cap V'$ 非空是开集、$S$ 极端不连通意味着不交开集的闭包不交（前一条性质），矛盾。

  所以 $f$ 是单射，从而是同胚，于是它有截面。∎

  两个方向用的是同一条投射性的两种面貌：一面是「把对象从它的两块拼回来」（$U \sqcup F \to S$ 有截面），另一面是「每个满射有截面」。

定义引用 16

• Stone 空间的闭开加细 用到 本页定义引用

  证明的第一步是「Stone 空间 = 投射有限空间」，用的是这条定义。

• Gleason 定理 用到 本页定义引用

  认出来的那批是 Stonean 空间。

• Stone ⟺ 投射有限 用到 本页定义引用

  定理的左边是 Stone 空间。

• 极端不连通的基本性质 用到 本页定义引用

  命题谈的是极端不连通（以及由它推出的全不连通）。

• Stone 空间是 CHaus 的反射子范畴 用到 本页定义引用

  「Stone 空间」是全不连通的紧 Hausdorff 空间。

• 全不连通空间是反射子范畴 用到 本页定义引用

  全不连通是 Stone 空间定义里的一半。

• Stonean 给出有限表现投射对象 用到 本页定义引用

  引理的输入是 Stonean 空间。

• Stone 空间上的上同调为零 用到 本页定义引用

  命题只对 Stone 空间成立。

• Stonean 上凝聚阿贝尔群零调 用到 本页定义引用

  结论只对 Stonean 空间（极不连通的 Stone 空间）成立。

• Stone 上常系数零调 用到 本页定义引用

  前提是 Stone 空间（比 Stonean 弱：只需全不连通）。

• Stone 满射的 Čech 复形 1-有界零调 用到 本页定义引用

  复形来自 Stone 空间之间的满射。

• Banach 在 Stone 上零调 用到 本页定义引用

  空间是 Stone 空间。

• Stonean 上 Ext 的截面公式 用到 本页定义引用

  公式只对 Stonean 空间成立（$\mathbb{Z}[S]$ 投射）。

• Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列 用到 本页定义引用

  带测试空间 $S$ 的版本要求 $S$ 是 Stonean。

• 挠 与 Stonean，无挠 与 连通 用到 本页定义引用

  挠群的对偶是 Stonean 空间。

• Boolean 环与 Stone 空间等价 用到 本页定义引用

  另一边是 Stone 空间范畴。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 连通与连通分量 → 本页定义引用

  「全不连通」说的是每个连通分量都是单点。

• 闭开集 → 本页定义引用

  「极端不连通」说的是任一开集的闭包仍是闭开集。

• 紧 Hausdorff 空间范畴 → 本页定义引用

  Stone 空间与 Stonean 空间分别是「全不连通」与「极端不连通」再加紧 Hausdorff。