全不连通空间是反射子范畴

说明

推论：全不连通空间的任意极限仍是全不连通的 —— 因为 $\pi_{0}$ 作为反射（一个左伴随）保余极限，而含入函子保极限。这条与「$\mathbf{CHaus}$ 对极限封闭」叠起来，就是 Stone 空间与 Stonean 空间各自对极限封闭。

证明。 记 $\mathbf{Top}_{\mathrm{td}}$ 为全不连通空间范畴，含入 $i : \mathbf{Top}_{\mathrm{td}}\hookrightarrow\mathbf{Top}$。要证 $i$ 有左伴随 $\pi_{0}$。

• 构造：$\pi_{0}(X)$ 取 $X$ 的连通分量全体，配商拓扑（$X\to\pi_{0}(X)$ 把每点送到它的分量）。商拓扑下 $\pi_{0}(X)$ 全不连通（连通分量的原像是……分量在商里是单点，而商空间里单点是否开闭要看原像是否开闭 —— 一般 $\pi_{0}$ 只是「全不连通」而未必离散，符合要求）；
• 泛性质：任给 $f : X \to Y$（$Y$ 全不连通）。连续映射把连通集送到连通集，而 $Y$ 的连通子集只有单点，故 $f$ 在每个连通分量上取常值，于是 $f$ 唯一地穿过 $X\to\pi_{0}(X)$ ✓。

两个方向互逆，故 $\pi_{0}\dashv i$ ✓，即 $\mathbf{Top}_{\mathrm{td}}$ 是反射子范畴。 「$X\to\pi_{0}(X)$ 是同构」 $\iff$ 每个分量是单点 $\iff$ $X$ 全不连通 ✓。∎ ⭐ 推论读法：反射子范畴等价于「含入有左伴随」，而左伴随保余极限 —— 但这里要用的是含入保极限（右伴随保极限），于是全不连通空间的极限（在 $\mathbf{Top}$ 里算）落回全不连通 ✓。