Stone 空间的闭开加细

说明

证明。 Stone 空间就是投射有限空间：$S = \varprojlim_{i \in I} S_{i}$，每个 $S_{i}$ 有限离散、转移映射满 ✓。于是

是 $S$ 的一组闭开集基，而且对 $i \le j$ 有嵌套（$\pi_{j}$ 的纤维含在 $\pi_{i}$ 的纤维里）✓。 ① 先取有限闭开子覆盖。 给定开覆盖 $(U_{\alpha})$：对每个 $s \in S$ 取 $i(s)$ 与 $x := \pi_{i(s)}(s)$，使

（用基的闭开性，取直径足够细的那一层）✓。$\{D_{s}\}$ 是开覆盖，而 $S$ 紧 $\implies$ 抽出有限子覆盖 $D_{1}, \ldots, D_{m}$ ✓。 ② 再两两不交化。 记 $D^{1}_{j} := D_{j}$、$D^{0}_{j} := S \setminus D_{j}$，对每个 $\varepsilon \in \{0,1\}^{m}$ 取

每个 $C_{\varepsilon}$ 是闭开的（有限交、补）✓；不同 $\varepsilon$ 的 $C_{\varepsilon}$ 两两不交 ✓；它们并为 $S$（每点属于唯一一个 $C_{\varepsilon}$）✓。去掉空集，得到有限族 $(C_{r})$。 ③ 每块含在某一支里。 若 $C_{\varepsilon} \ne \emptyset$，取 $s \in C_{\varepsilon}$；由 $\{D_{j}\}$ 覆盖 $S$，有 $j$ 使 $s \in D_{j}$ —— 而 $s \in D_{j}$ 说明 $\varepsilon_{j} = 1$，于是

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⭐ 用途：它把「开覆盖」换成「有限不交闭开分划」，于是可以逐块定义、逐块拼起来。§8.2 里「Stone 空间上 $C(S, M^{\mathrm{disc}})$ 在 $C(S, M)$ 中稠密」用的就是这一条：在每一块上取一个常值，拼成局部常值函数。