全不连通对子空间封闭

说明

证明。 给子空间 $Y \subseteq X$、$y \in Y$。$X$ 里每个含 $y$ 的闭开集 $K$ 与 $Y$ 交出的 $K \cap Y$ 在 $Y$ 里仍闭开 ✓；若 $Y$ 在 $y$ 处连通、含有另一个点 $y'$，则全不连通性给出 $X$ 的闭开集分离 $y, y'$ ✓，把它交到 $Y$ 上就断开 $Y$ —— 矛盾 ✓。∎