连通分量是闭开邻域之交

谁指向它（入边）

推出 1

• 连通与连通分量、闭开集、紧 Hausdorff 空间范畴 ⟹ 本页推出
  紧 Hausdorff 中连通分量是闭开邻域之交

  记 $C := \bigcap \{K : K \text{ 闭开},\ x \in K\}$。

  $C(x) \subseteq C$。 每个含 $x$ 的闭开集 $K$ 都是既不空又不全的开集，所以 $x$ 的连通分量只能整个落在 $K$ 里或整个落在 $K$ 外；既然 $x \in K$，就有 $C(x) \subseteq K$。对一切这样的 $K$ 取交即得。

  $C$ 连通。 反设 $C = F \sqcup G$，其中 $F, G$ 在 $C$ 中闭、不交、非空，并设 $x \in F$。$C$ 是闭集之交因而闭，于是 $F, G$ 在 $S$ 中闭。紧 Hausdorff 空间正规，取不交开集 $U \supseteq F$、$V \supseteq G$。令 $K := (U \cup V)^{c}$，它闭且 $K \cap C = \emptyset$。

  由 $C$ 的定义与 $K \cap C = \emptyset$，存在含 $x$ 的闭开集 $H$ 使 $H \cap K = \emptyset$，即 $H \subseteq U \cup V$。于是 $H \cap U$ 与 $H \cap V$ 都是 $H$ 中的闭开集（$U, V$ 不交故各自的补在 $H$ 中开），进而在 $S$ 中闭开（$H$ 闭开）。其中 $H \cap U \ni x$，所以由 $C$ 的定义 $C \subseteq H \cap U \subseteq U$，从而 $C \cap V = \emptyset$，与 $G \subseteq C \cap V$ 非空矛盾。∎

  这一步是后面 Stone 对偶与 $\mathrm{Cond}$ 里「连通分量可控」的来源：在 $\mathbf{CHaus}$ 里，连通分量由闭开集这个可以自由摆弄的族描述出来。

定义引用 3

• 连通与连通分量 → 本页定义引用

  命题算的是连通分量。

• 闭开集 → 本页定义引用

  连通分量被写成一切含 $x$ 的闭开集之交。

• 紧 Hausdorff 空间范畴 → 本页定义引用

  证明里用到紧 Hausdorff 空间是正规的。