Stonean 是收缩核retract

说明

这条把 Gleason 定理翻译成了一句「具体拓扑」的话：投射性 = 收缩核。与模论里「投射模 = 自由模的直和项」完全平行 —— 两者都是「投射 = 从自由对象上切一块下来」。

证明（把 Gleason 与「$\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都是自由的商」拼起来）。

• $(\implies)$：设 $A$ 是 Stonean。取自由紧 Hausdorff 空间 $F$ 与满射 $p : F\twoheadrightarrow A$（「$\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都是自由的商」）。Stonean $\implies$ 由 Gleason 定理 $A$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 里的投射对象，于是满射 $p : F\to A$ 有截面 $s : A\to F$，即 $p\circ s = \mathrm{id}_{A}$ —— 这正是「$A$ 是 $F$ 的收缩核」（取 $r := p$）✓。
• $(\Longleftarrow)$：若 $A$ 是自由对象 $F$ 的收缩核（$r: F\to A$，$r|_A = \mathrm{id}$），则由投射对象的收缩核仍投射（标准事实：投射对象的直和项/收缩核还是投射的），$A$ 在 $\mathbf{CHaus}$ 里投射；再由 Gleason 定理，$A$ 是 Stonean ✓。∎

⭐ 这条是「Stonean = 自由紧 Hausdorff 的收缩核」的完整论证，也是后面「$\mathbb{Z}[S]$ 投射」的来源（$S$ 的收缩核给出截面，截面给出 $\mathbb{Z}[S]$ 的投射性）。