布尔环

说明

幂等性把环逼得很紧。由 $(x + y)^{2} = x + y$ 展开得 $xy + yx = 0$；由 $(x+x)^{2} = x+x$ 得 $2x = 0$。合起来：布尔环自动是交换环，而且特征为 $2$。所以布尔环里没有「真实」的数，只有「是 / 不是」的代数。

与布尔代数（带补分配格）是一回事。格运算翻译成环运算：

• $a \wedge b = ab$（交 = 乘法）；
• $a \vee b = a + b + ab$（并 = 加法加回重叠部分）；
• $\neg a = 1 + a$（补 = 与单位元加和）。

反过来，$a \,\triangle\, b = a + b$：环加法就是对称差。

最小的例子：$\mathbb{F}_{2} = \{\, 0, 1 \,\}$。最一般的例子：集合 $I$ 的幂集 $\mathcal{P}(I)$，以对称差为加法、以交为乘法。